数学 - Python - JavaScript - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 逆関数 - 逆正接関数(駅、汽車、カメラマン、速度、時間経過、カメラの回転角の変化の割合)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第7章(逆関数)、4(逆正接関数)、練習問題32.を取り組んでみる。

32. 
    

    時間をt秒、汽車が進んだ距離をxフィート、カメラマンが進んだ距離をyメートル、カメラの回転角をθとする。

    $\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=20\\ \frac{dy}{dt}=10\\ \\ \tan \theta =\frac{x}{50+y}\\ \theta =\arctan \frac{x}{50+y}\\ \\ \frac{d\theta }{dt}=\frac{1}{1+{\left(\frac{x}{50+y}\right)}^2}\frac{d}{dt}\left(\frac{x}{50+y}\right)\\ =\frac{1}{1+{\left(\frac{x}{50+y}\right)}^2}·\frac{\frac{dx}{dt}\left(50+y\right)-x\frac{d}{dt}\left(50+y\right)}{{\left(50+y\right)}^2}\\ =\frac{1}{1+{\left(\frac{x}{50+y}\right)}^2}·\frac{\frac{dx}{dt}\left(50+y\right)-x\frac{dy}{dt}}{{\left(50+y\right)}^2}\\ =\frac{1}{1+{\left(\frac{x}{50+y}\right)}^2}·\frac{20\left(50+y\right)-10x}{{\left(50+y\right)}^2}\\ =\frac{20\left(50+y\right)-10x}{{\left(50+y\right)}^2+x^2}\end{array}$
    1. 
       

       汽車が80フィートの地点では80 / 20 = 4秒経過している。

       カメラマンが進んだ距離: y = 10 × 4 = 40。

       カメラの回転角の変化の割合。

       $\begin{array}{l}\frac{d\theta }{dt}=\frac{20\left(50+40\right)-10·80}{{\left(50+40\right)}^2+{80}^2}\\ =\frac{2\left(5+4\right)-1·8}{{\left(5+4\right)}^2+8^2}\\ =\frac{2·9-8}{9^2+8^2}\\ =\frac{10}{81+64}\\ =\frac{10}{145}\\ =\frac{2}{29}\left(ラジアン/秒\right)\end{array}$
    2. 
       

       汽車が100フィートの地点では100 / 20 = 5秒経過している。

       カメラマンが進んだ距離: y = 10 × 5 = 50。

       カメラの回転角の変化の割合。

       $\begin{array}{l}\frac{d\theta }{dt}=\frac{20\left(50+50\right)-10·100}{{\left(50+50\right)}^2+{100}^2}\\ =\frac{2\left(5+5\right)-10}{{\left(5+5\right)}^2+{10}^2}\\ =\frac{2·10-10}{{10}^2+{10}^2}\\ =\frac{2-1}{10+10}\\ =\frac{1}{20}\left(ラジアン/秒\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Rational

print('32.')
x, y = symbols('x y')
f = (20 * (50 + y) - 10 * x) / ((50 + y) ** 2 + x ** 2)
xy = [(80, 40, Rational(2, 29)),
      (100, 50, Rational(1, 20))]
      
for i, (x0, y0, y1) in enumerate(xy):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    for t in [x0, y0, y1]:
        pprint(t)
    print(f.subs({x:x0, y:y0}) == y1)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample32.py
32.
(a)
80
40
2/29
True

(b)
100
50
1/20
True

$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="0.001">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="0">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="200">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="0">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="200">
<br>
<label for="t0">t = </label>
<input id="t0" type="number" step="0.1" value="0">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample32.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_t0 = document.querySelector('#t0'),    
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
              input_t0],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let fx = (t) => 20 * t,
    fy = (t) => 50 + 10 * t;

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        t0 = parseFloat(input_t0.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [[fx(t0), 0, 0, fy(t0), 'green']],
        fns = [],
        fns1 = [],
        fns2 = [];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                points.push([x, y, color]);
            }
        });

    fns1
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            
            lines.push([x1, f(x1), x2, f(x2), color]);
        });
        
    fns2
        .forEach((o) => {
           let [f, color] = o;

            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =
t =