数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 直線と平面(2平面の交線のパラメーター方程式)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、5(直線と平面)、練習問題14.を取り組んでみる。

14. 12. 
        

        求めるパラメーター方程式を X = (a, b, c) + t(-2, 1, 5)とおく。(a, b, c)はともに問題の2平面上の点であることからa、b、cを求める。

        $\begin{array}{l}2a-b+c=1\\ 3a+b+c=2\\ \\ 5a+2c=3\\ c=\frac{3-5a}{2}\\ \\ 2a-b+\frac{3-5a}{2}=1\\ b=2a+\frac{3-5a}{2}-1\\ =\frac{4a+3-5a-2}{2}\\ =\frac{-a+1}{2}\\ \\ \left(a,b,c\right)\\ =\left(a,\frac{-a+1}{2},\frac{3-5a}{2}\right)\\ \\ a=1\\ \left(1,0,-1\right)\end{array}$

        よって求める問題のに平面の交線のパラメーター方程式は X = (1, 0, -1) + t(-2, 1, 5)。

    13. 
        

        求めるパラメーター方程式を X = (a, b, c) + t(11, 13, -7)とおく。(a, b, c)はともに問題の2平面上の点であることからa、b、cを求める。

        $\begin{array}{l}2a+b+5c=2\\ 3a-2b+c=3\\ \\ 7a+11c=7\\ c=\frac{7-7a}{11}\\ \\ b=2-2a-5c\\ =2-2a-5·\frac{7-7a}{11}\\ =\frac{22-22a-35+35a}{11}\\ =\frac{-13+13a}{11}\\ \\ \left(a,b,c\right)\\ =\left(a,\frac{-13+13a}{11},\frac{7-7a}{11}\right)\\ \\ a=1\\ \left(1,0,0\right)\end{array}$

        よって求める問題のに平面の交線のパラメーター方程式は X = (1, 0, 0) + t(11, 13, -7)。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('14.')
x, y, z, t = symbols('x y z t')
eq11 = 2 * x - y + z - 1
eq12 = 3 * x + y + z - 2

eq21 = 2 * x + y + 5 * z - 2
eq22 = 3 * x - 2 * y + z - 3

eqs = [(eq11, eq12),(eq21, eq22)]

a = [(1 -2 * t, t, -1 + 5 * t),
     (1 + 11 * t, 13 * t, -7 * t)]

for i, ((eq1, eq2), (x0, y0, z0)) in enumerate(zip(eqs, a), 12):
    print(f'{i}.')
    pprint(solve((eq1, eq2, x - x0,  y - y0, z - z0)))
    pprint((x0, y0, z0))
    pprint(eq1.subs({x:x0, y:y0, z:z0}))
    pprint(eq2.subs({x:x0, y:y0, z:z0}))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample14.py
14.
12.
⎧   z   1       2⋅z   3     z   1⎫
⎨t: ─ + ─, x: - ─── + ─, y: ─ + ─⎬
⎩   5   5        5    5     5   5⎭
(-2⋅t + 1, t, 5⋅t - 1)
0
0
13.
⎧   -z        11⋅z         -13⋅z ⎫
⎨t: ───, x: - ──── + 1, y: ──────⎬
⎩    7         7             7   ⎭
(11⋅t + 1, 13⋅t, -7⋅t)
0
0
$