数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 直線と平面(3 - 空間、2つの点、平面の法線ベクトル、直線の方向ベクトル、点と平面の距離)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、5(直線と平面)、練習問題18.を取り組んでみる。

18. 
    

    直線。

    $X=P+tN$

    平面。

    $\begin{array}{l}\left(X-Q\right)·N=0\\ X·N=Q·N\end{array}$

    交点。

    $\begin{array}{l}\left(P+tN\right)·N=Q·N\\ tN·N=Q·N-P·N\\ t=\frac{\left(Q-P\right)·N}{N·N}\\ \\ P\text{'}=P+\frac{\left(Q-P\right)·N}{N·N}N\end{array}$

    距離。

    $\begin{array}{l}\left|P\text{'}-P\right|\\ =\left|\frac{\left(Q-P\right)·N}{N·N}N\right|\\ =\left|\frac{\left(\left(-1,1,7\right)-\left(1,3,5\right)\right)·\left(-1,1,-1\right)}{\left(-1,1,-1\right)·\left(-1,1,-1\right)}\left(-1,1,-1\right)\right|\\ =\left|\frac{\left(-2,-2,2\right)·\left(-1,1,-1\right)}{1+1+1}\left(-1,1,-1\right)\right|\\ =\left|\frac{2-2-2}{3}\left(-1,1,-1\right)\right|\\ =\left|\frac{2}{3}\left(-1,1,-1\right)\right|\\ =\sqrt{\frac{2^2}{3^2}\left(1+1+1\right)}\\ =\sqrt{\frac{2^2}{3^2}·3}\\ =\frac{2}{\sqrt{3}}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('18.')
X = Matrix(symbols('x y z'))
P = Matrix([1, 3, 5])
Q = Matrix([-1, 1, 7])
N = Matrix([-1, 1, -1])
t = symbols('t')

eq1 = P + t * N
eq2 = (X - Q).dot(N)

eq3 = eq2.subs({k: v for k, v in zip(X, eq1)})

for t0 in [eq1.T, eq2, eq3]:
    pprint(t0)
    print()

t0 = solve(eq3, t)[0]
pprint(t0)
P1 = eq1.subs({t: t0})
for s in [P1.T, (P - P1).norm()]:
    pprint(s)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample18.py
18.
[-t + 1  t + 3  -t + 5]

-x + y - z + 5

3⋅t + 2

-2/3
[5/3  7/3  17/3]

2⋅√3
────
 3  

$

macOS High Sierraの標準搭載されているグラフ作成ソフト、Grapher で作成。