数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 直線と平面(3 - 空間における平面の方程式、平面上の点、法線ベクトル、垂直、交点の座標)

ラング線形代数学(上)
原著

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、5(直線と平面)、練習問題16、17.を取り組んでみる。

16. 
    

    問題の方程式を変形。

    $\left(X-P\right)·N=0$

    Nは平面の法線ベクトル、Pは平面上の1点、Xは平面上の点。

    Qは平面上の点ではないので、Q + tNが平面上にあるようなtはただ1つ存在する。

    $\begin{array}{l}\left(Q+tN\right)·N=P·N\\ Q·N-tN·N=P·N\\ t=\frac{Q·N-P·N}{N·N}\end{array}$
17. 
    

    Pを通りNの向きを持つ直線の方程式。

    $X=P+tN$

    Qを通り、Nに垂直な平面の方程式。

    $X·N=Q·N$

    前問よりtを求める。

    $\begin{array}{l}\left(Q+tN\right)·N=P·N\\ Q·N-tN·N=P·N\\ t=\frac{Q·N-P·N}{N·N}\\ \\ X=P+tN\\ X·N=Q·N\\ \\ t=\frac{P·N-Q·N}{N·N}\\ =\frac{\left(1+6-4\right)-\left(1-2+4\right)}{1+4+4}\\ =\frac{3-3}{9}\\ =0\end{array}$

    よって求める直線と平面との交点は、X = P = (1, 3, -2)。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('17.')
X = Matrix(symbols('x y z'))
Q = Matrix([1, -1, 2])
P = Matrix([1, 3, -2])
N = Matrix([1, 2, 2])
t = symbols('t')

eq1 = P + t * N
eq2 = (X - Q).dot(N)
eq3 = eq2.subs({k:v for k, v in zip(X, eq1)})

for t0 in [eq1.T, eq2, eq3]:
    pprint(t0)
    print()

t0 = solve(eq3)[0]
pprint(eq1.subs({t:t0}).T)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample16.py
17.
[t + 1  2⋅t + 3  2⋅t - 2]

x + 2⋅y + 2⋅z - 3

9⋅t

[1  3  -2]
$

macOS High Sierraの標準搭載されているグラフ作成ソフト、Grapher で作成。