数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 複素数(和、積の共役と共役の和、積)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、6(複素数)、練習問題4.を取り組んでみる。

4. α、βを次のようにおく。

   $\begin{array}{l}a,b,c,d\in ℝ\\ \alpha =a+bi\\ \beta =c+di\end{array}$

   • 共役の積について。

     $\begin{array}{l}\overline{\alpha \beta }\\ =\overline{\left(a+bi\right)\left(c+di\right)}\\ =\overline{\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i}\\ =\left(ac-bd\right)-\left(ad+bc\right)i\\ \\ \overline{\alpha }\overline{\beta }\\ =\left(a-bi\right)\left(c-di\right)\\ =\left(ac+bd\right)+\left(-ad-bc\right)i\\ =\left(ac+bd\right)-\left(ad+bc\right)i\\ \\ \overline{\alpha \beta }=\overline{\alpha }\overline{\beta }\end{array}$

   • 共役の和について。

     $\begin{array}{l}\overline{\alpha +\beta }\\ =\overline{\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)}\\ =\overline{\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i}\\ =\left(a+c\right)-\left(b+d\right)i\\ \\ \overline{\alpha }+\overline{\beta }\\ =\overline{a+bi}+\overline{a-bi}\\ =\left(a-bi\right)+\left(c-di\right)\\ =\left(a+c\right)+\left(-b-d\right)i\\ =\left(a+c\right)-\left(b+d\right)i\\ \\ \overline{\alpha +\beta }=\overline{\alpha }+\overline{\beta }\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, I

print('4.')
a, b, c, d = symbols('a b c d', real=True)
α = a + b * I
β = c + d * I

for l, r in [((α * β).conjugate(), α.conjugate() * β.conjugate()),
             ((α + β).conjugate(), α.conjugate() + β.conjugate())]:
    print(l == r)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
(a - ⅈ⋅b)⋅(c - ⅈ⋅d)

(a - ⅈ⋅b)⋅(c - ⅈ⋅d)

True
a - ⅈ⋅b + c - ⅈ⋅d

a - ⅈ⋅b + c - ⅈ⋅d

True
$