数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 行列の積(累乗(べき乗、正の整数、自然数)、数学的帰納法、一般化)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、7(行列の積)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   $\begin{array}{l}A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 2\end{array}\right)\\ \\ A^2=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 2\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}1& a+2a\\ 0& 2^2\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}1& 3a\\ 0& 2^2\end{array}\right)\\ \\ A^3=\left(\begin{array}{cc}1& a+2a\\ 0& 2^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 2\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}1& a+2\left(a+2a\right)\\ 0& 2^3\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}1& 7a\\ 0& 2^3\end{array}\right)\\ \\ A^4=\left(\begin{array}{cc}1& a+2\left(a+2a\right)\\ 0& 2^3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 2\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}1& a+2\left(a+2\left(a+2a\right)\right)\\ 0& 2^3\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}1& 15a\\ 0& 2^4\end{array}\right)\end{array}$

   上記のことから次のことが成り立つと予想。

   $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& \left(2^n-1\right)a\\ 0& 2^n\end{array}\right)$

   帰納法により証明。

   $\begin{array}{l}{A}^n=\left(\begin{array}{cc}1& \left(2^n-1\right)a\\ 0& 2^n\end{array}\right)\\ A^n=A^{n-1}A\\ =\left(\begin{array}{cc}1& \left(2^{n-1}-1\right)a\\ 0& 2^{n-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 2\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}1& a+2\left(2^{n-1}-1\right)a\\ 0& 2·2^{n-1}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}1& \left(2^n-1\right)a\\ 0& 2^n\end{array}\right)\end{array}$

   よって帰納法より、すべての正の整数について予想したことは成り立つ。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, sin, cos

print('5.')
a = symbols('a')
n = symbols('n', integer=True)
A = Matrix([[1, a],
            [0, 2]])

for k in range(10):
    print(f'{k}乗')
    pprint(A ** k)
    print()

print('n乗')
pprint(A ** n)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample5.py
5.
0乗
⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

1乗
⎡1  a⎤
⎢    ⎥
⎣0  2⎦

2乗
⎡1  3⋅a⎤
⎢      ⎥
⎣0   4 ⎦

3乗
⎡1  7⋅a⎤
⎢      ⎥
⎣0   8 ⎦

4乗
⎡1  15⋅a⎤
⎢       ⎥
⎣0   16 ⎦

5乗
⎡1  31⋅a⎤
⎢       ⎥
⎣0   32 ⎦

6乗
⎡1  63⋅a⎤
⎢       ⎥
⎣0   64 ⎦

7乗
⎡1  127⋅a⎤
⎢        ⎥
⎣0   128 ⎦

8乗
⎡1  255⋅a⎤
⎢        ⎥
⎣0   256 ⎦

9乗
⎡1  511⋅a⎤
⎢        ⎥
⎣0   512 ⎦

n乗
⎡    n      ⎤
⎢1  2 ⋅a - a⎥
⎢           ⎥
⎢       n   ⎥
⎣0     2    ⎦
$