数学 - Python - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 逆関数 - 逆正接関数(ヘリコプター、観測者、速度、視角、増加率)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第7章(逆関数)、4(逆正接関数)、練習問題31.を取り組んでみる。

31. 
    

    時間をt秒、ヘリコプターの高さをxフィート、出発地点から観測者の距離をy、観測者がヘリコプターを見る角(視角)をθとおく。

    $\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=15\\ \frac{dy}{dt}=80\\ \\ \tan \theta =\frac{x}{y}\\ \theta =\arctan \frac{x}{y+100}\\ \\ \frac{d\theta }{dt}=\frac{1}{1+{\left(\frac{x}{y+100}\right)}^2}·\frac{d}{dt}\left(\frac{x}{y+100}\right)\\ =\frac{1}{1+{\left(\frac{x}{y+100}\right)}^2}·\frac{\frac{dx}{dt}\left(y+100\right)-x\frac{d}{dt}\left(y+100\right)}{{\left(y+100\right)}^2}\\ =\frac{1}{1+{\left(\frac{x}{y+100}\right)}^2}·\frac{15\left(y+100\right)-x\frac{dy}{dt}}{{\left(y+100\right)}^2}\\ =\frac{1}{1+{\left(\frac{x}{y+100}\right)}^2}·\frac{15\left(y+100\right)-80x}{{\left(y+100\right)}^2}\\ =\frac{5\left(3\left(y+100\right)-16x\right)}{{\left(y+100\right)}^2+x^2}\end{array}$
    1. 
       

       観測者が基地から400フィートの地点のとき、y = 400 - 100 = 300なので、300 / 80 秒経過している、よって、x = 300 / 80 × 15となる。

       $\begin{array}{l}\frac{d\theta }{dt}=\frac{5\left(3\left(300+100\right)-16·\frac{300}{80}·15\right)}{{\left(300+100\right)}^2+{\left(\frac{300}{80}·15\right)}^2}\\ =\frac{5\left(3\left(300+100\right)-300·3\right)}{{400}^2+{\left(\frac{300}{16}·3\right)}^2}\\ =\frac{15\left(\left(300+100\right)-300\right)}{{400}^2+{\left(\frac{300}{16}·3\right)}^2}\\ =\frac{15·100}{{400}^2+{\left(\frac{300}{16}·3\right)}^2}\\ =\frac{15}{{40}^2+{\left(\frac{15}{8}·3\right)}^2}\\ =\frac{15}{{40}^2+{\left(\frac{45}{8}\right)}^2}\left(ラジアン/秒\right)\end{array}$
    2. 
       

       観測者が基地から600フィートの地点のとき、y = 600 - 100 = 500なので、500 / 80 秒経過している、よって、x = 500 / 80 × 15となる。

       $\begin{array}{l}\frac{d\theta }{dt}=\frac{5\left(3\left(500+100\right)-16·\frac{500}{80}·15\right)}{{\left(500+100\right)}^2+{\left(\frac{500}{80}·15\right)}^2}\\ =\frac{5\left(3·600-500·3\right)}{{600}^2+{\left(\frac{500}{16}·3\right)}^2}\\ =\frac{5\left(3·6-5·3\right)}{{60}^2+{\left(\frac{50}{16}·3\right)}^2}\\ =\frac{5\left(18-15\right)}{{60}^2+{\left(\frac{150}{16}\right)}^2}\\ =\frac{5·3}{{60}^2+{\left(\frac{150}{16}\right)}^2}\\ =\frac{15}{{60}^2+{\left(\frac{75}{8}\right)}^2}\left(ラジアン/秒\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Rational

print('31.')
x, y = symbols('x y')
f = (5 * (3 * (y + 100) - 16 * x)) / ((y + 100) ** 2 + x ** 2)
xy = [(Rational(300 , 80) * 15, 300,
       Rational(15, 40 ** 2 + (Rational(45, 8) ** 2))),
      (Rational(500, 80) * 15, 500,
       Rational(15, 60 ** 2 + Rational(75, 8) ** 2))]
      
for x0, y0, y1 in xy:
    print(f.subs({x:x0, y:y0}) == y1)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample31.py
31.
True
True
$