学習環境
- Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
- MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
- MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
- 参考書籍
線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、9(線型写像の像と核)、問題8.を取り組んでみる。
-
X1、X2を任意の2次元行列とする。
F(X1+X2)=A(X1+X2)=AX1+AX2=F(X1)+F(X2)Xを任意の二次元の行列、cをスカラーとする。
F(cX)=A(cX)=c(AX)=cF(X)よって、FはM2(R)の線型変換。
F((1000))=A(1000)=(1−1−44)(1000)=(10−40)F((0100))=A(0100)=(1−1−44)(0100)=(010−4)F((0010))=A(0010)=(1−1−44)(0010)=(−1040)F((0001))=A(0001)=(1−1−44)(0001)=(0−104)a1=(10−40),a2=(010−4),a3=(−1040),a4=(0−104)a3=−a1,a4=−a2Im F=〈a1,a2〉rank F=2よって、線型変換の階数は2。
F((abcd))=OA(abcd)=O(1−1−44)(abcd)=O(a−cb−d−4a+4c−4b+4d)=Oa−c=0b−d=0−4a+4c=0−4b+4d=0c=ad=b(abcd)=(abab)=a(1010)+b(0101)Ker F=〈(1010),(0101)〉nullity F=2よって、線型変換の退化次数は2。
コード(Emacs)
Python 3
#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve
import functools
print('8.')
A = Matrix([[1, -1],
[-1, 0]])
X1 = Matrix([symbols('a b'),
symbols('c d')])
X2 = Matrix([symbols('e f'),
symbols('g h')])
Z = Matrix([[0, 0],
[0, 0]])
F = lambda X: A * X
k = symbols('k')
for t in [A, X1, X2, F(X1 + X2), F(X1) + F(X2), F(X1 + X2) == F(X1) + F(X2),
F(k * X1), k * F(X1), F(k * X1) == k * F(X1)]:
pprint(t)
print()
入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))
$ ./sample8.py 8. ⎡1 -1⎤ ⎢ ⎥ ⎣-1 0 ⎦ ⎡a b⎤ ⎢ ⎥ ⎣c d⎦ ⎡e f⎤ ⎢ ⎥ ⎣g h⎦ ⎡a - c + e - g b - d + f - h⎤ ⎢ ⎥ ⎣ -a - e -b - f ⎦ ⎡a - c + e - g b - d + f - h⎤ ⎢ ⎥ ⎣ -a - e -b - f ⎦ True ⎡a⋅k - c⋅k b⋅k - d⋅k⎤ ⎢ ⎥ ⎣ -a⋅k -b⋅k ⎦ ⎡k⋅(a - c) k⋅(b - d)⎤ ⎢ ⎥ ⎣ -a⋅k -b⋅k ⎦ False $
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