数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 行列の積(可換律、零行列について)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、7(行列の積)、問題2、3.を取り組んでみる。

2. 
   

   2 × 2行列A、BについてAB = BAの反例。

   $\begin{array}{l}A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\\ B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\\ AB=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\\ BA=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\\ AB\ne BA\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\\ B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\\ A\ne O\\ B\ne O\\ \\ AB=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, ZeroMatrix

print('2.')
A = Matrix([[1, 0],
            [0, 0]])
B = Matrix([[0, 1],
            [0, 0]])
for t in [A, B, A * B, B * A, A * B != B * A]:
    pprint(t)
    print()

print('3.')
Z = Matrix([[0, 0],
            [0, 0]])
A = Matrix([[1, 0],
            [0, 0]])
B = Matrix([[0, 0],
            [0, 1]])
for t in [A, B, Z, A * B, A != Z, B != Z, A * B == Z]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦

⎡0  1⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦

⎡0  1⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦

⎡0  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦

True

3.
⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦

⎡0  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

⎡0  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦

⎡0  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦

True

True

True

$