数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 行列の積(上三角行列、累乗(べき乗)、数学的帰納法、一般化)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、7(行列の積)、問題6.を取り組んでみる。

6. 
   $\begin{array}{l}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ \\ A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ \\ A^3=A^{2}A\\ =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 6\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ \\ A^4=A^{3}A\\ =\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 6\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 10\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ \\ A^5=A^{4}A\\ =\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 10\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}1& 5& 15\\ 0& 1& 5\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$

   上記から予想。

   $\begin{array}{l}{A}^n=\left(\begin{array}{ccc}1& n& 1+2+\cdots +n\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}1& n& \frac{n\left(n+1\right)}{2}\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$

   数学的帰納法。

   $\begin{array}{l}{A}^n=A^{n-1}A\\ =\left(\begin{array}{ccc}1& n-1& \frac{\left(n-1\right)n}{2}\\ 0& 1& n-1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}1& 1+n-1& 1+n-1+\frac{\left(n-1\right)n}{2}\\ 0& 1& 1+n-1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}1& n& n+\frac{\left(n-1\right)n}{2}\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}1& n& \frac{2n+\left(n-1\right)n}{2}\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}1& n& \frac{n\left(2+n-1\right)}{2}\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}1& n& \frac{n\left(n+1\right)}{2}\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$

   よって、数学的帰納法より、すべての正の整数について予想したことは成り立つ。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, sin, cos

print('5.')
n = symbols('n', integer=True)
A = Matrix([[1, 1, 1],
            [0, 1, 1],
            [0, 0, 1]])

for k in range(10):
    print(f'{k}乗')
    pprint(A ** k)
    print()

A0 = Matrix([[1, n, n * (n + 1) / 2],
             [0, 1, n],
             [0, 0, 1]])

for t in [A ** n, A0]:
    pprint(t)
    print()

pprint((A ** n).expand() == A0.expand())

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample6.py
5.
0乗
⎡1  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  1  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  1⎦

1乗
⎡1  1  1⎤
⎢       ⎥
⎢0  1  1⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  1⎦

2乗
⎡1  2  3⎤
⎢       ⎥
⎢0  1  2⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  1⎦

3乗
⎡1  3  6⎤
⎢       ⎥
⎢0  1  3⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  1⎦

4乗
⎡1  4  10⎤
⎢        ⎥
⎢0  1  4 ⎥
⎢        ⎥
⎣0  0  1 ⎦

5乗
⎡1  5  15⎤
⎢        ⎥
⎢0  1  5 ⎥
⎢        ⎥
⎣0  0  1 ⎦

6乗
⎡1  6  21⎤
⎢        ⎥
⎢0  1  6 ⎥
⎢        ⎥
⎣0  0  1 ⎦

7乗
⎡1  7  28⎤
⎢        ⎥
⎢0  1  7 ⎥
⎢        ⎥
⎣0  0  1 ⎦

8乗
⎡1  8  36⎤
⎢        ⎥
⎢0  1  8 ⎥
⎢        ⎥
⎣0  0  1 ⎦

9乗
⎡1  9  45⎤
⎢        ⎥
⎢0  1  9 ⎥
⎢        ⎥
⎣0  0  1 ⎦

⎡      n⋅(n - 1)    ⎤
⎢1  n  ───────── + n⎥
⎢          2        ⎥
⎢                   ⎥
⎢0  1        n      ⎥
⎢                   ⎥
⎣0  0        1      ⎦

⎡      n⋅(n + 1)⎤
⎢1  n  ─────────⎥
⎢          2    ⎥
⎢               ⎥
⎢0  1      n    ⎥
⎢               ⎥
⎣0  0      1    ⎦

True
$