数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 集合・論理・関係(ガロア対応、R閉集合(R左閉集合、右閉集合)、写像的関係)

解析入門〈3〉

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.1(集合・論理・関係)、問題9.を取り組んでみる。

9. 
   

   XのなかのR閉集合。

   $\begin{array}{l}\beta \left(\alpha \left(\varphi \right)\right)\\ =\beta \left(Y\right)\\ =\varphi \end{array}$

   写像が定値写像、f(x) = cの場合。

   $\begin{array}{l}\beta \left(\alpha \left(X\right)\right)\\ =\beta \left(\left\{c\right\}\right)\\ =X\end{array}$

   定値写像ではない場合。

   $\begin{array}{l}\beta \left(\alpha \left(X\right)\right)\\ =\beta \left(\varphi \right)\\ =X\end{array}$

   いずれの場合も集合XはR左閉集合となる。

   $\begin{array}{l}f\left(X\right)=Y_0\\ y\in Y_0\\ \beta \left(\alpha \left(f^{-1}\left(y\right)\right)\right)\\ =\beta \left(\left\{y\right\}\right)\\ =f^{-1}\left(y\right)\end{array}$

   Xの中のR閉集合(R左閉集合)は以上のような集合からなる。

   上記のそれぞれに対応するYの中のR閉集合(R右閉集合)を考える。

   空集合について。

   $\begin{array}{l}\alpha \left(\beta \left(Y\right)\right)\\ =\alpha \left(\varphi \right)\\ =Y\end{array}$

   Xについて。

   $\begin{array}{l}\alpha \left(\beta \left(\varphi \right)\right)\\ =\alpha \left(X\right)\\ =\varphi \end{array}$

   fの値域の各元につ。

   $\begin{array}{l}y\in Y_0\\ \alpha \left(\beta \left(\left\{y\right\}\right)\right)\\ =\alpha \left(f^{-1}\left(y\right)\right)\\ =\left\{y\right\}\end{array}$

   よって、Yの中のR閉集合(R右閉集合)は上記のような集合になる。

   ガロア対応について。

   $\begin{array}{l}\alpha \left(\varphi \right)=Y,Y=\beta \left(\varphi \right)\\ \alpha \left(X\right)=\varphi ,X=\beta \left(\varphi \right)\\ y\in Y_0\\ \alpha \left(f^{-1}\left(y\right)\right)=\left\{y\right\},f^{-1}\left(y\right)=\beta \left(\left\{y\right\}\right)\end{array}$