数学 - 解析学 - 距離空間の位相 - 位相の基礎的諸概念(開集合、閉包、触点共通部分、包含関係)

解析入門〈3〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題5.を取り組んでみる。

5. xを開集合AとBの閉包の共通部分の任意の点とする。

   $\begin{array}{l}x\in A\cap \overline{B}\\ \iff x\in A\wedge x\in \overline{B}\end{array}$

   xはBの閉包の元、触点であるから、任意の正の整数ε0に対して0B(x;ε0)とBの共通部分は空ではない。

   $B\left(x;{ϵ}_0\right)\cap B\ne \varphi$

   xは開集合Aの元なので、ある正の数δが存在して、B(x;δ)はAの部分集合である。

   $B\left(x;\delta \right)\subset A$

   εを任意の正の数とする。

   εとδの小さい方の数をδ0とする。

   B(x;δ0)はB(x;ε)の部分集合である。

   $B\left(x;{\delta }_0\right)\subset B\left(x;ϵ\right)$

   また、B(x;δ0)はB(x;δ)の部分集合でもある。

   $B\left(x;{\delta }_0\right)\subset B\left(x;\delta \right)$

   B(x;δ0)とBの共通部分は空ではないので、共通部分の1つの元をx0とする。

   x0はB(x;δ0)の元なのでB(x;ε)の元である。

   x0はB(x;δ0)の元なのでB(x;δの元)の元、すなわちAの元である。

   以上より、x0はB(x;ε)とBとAの共通部分の元である。

   $\begin{array}{l}{x}_0\in B\left(x;ϵ\right)\cap A\cap B=B\left(x;ϵ\right)\cap \left(A\cap B\right)\\ B\left(x;ϵ\right)\cap \left(A\cap B\right)\ne \varphi \end{array}$

   よって、xはAとBの共通部分の触点である。

   $x\in \overline{A\cap B}$

   ゆえに、問題の包含関係が成り立つ。

   $A\cap \overline{B}\subset \overline{A\cap B}$

   (証明終)