数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(集合族、直積、直積因子、選択公理、包含関係、必要十分条件)

集合・位相入門

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  • Pythonからはじめる数学入門
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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題8を取り組んでみる。

8. 直積Aの任意の元。(選出公理より)

   ${\left(a_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }\in {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }{A}_{\lambda }}$

   この直積の元が直積Bの元となので、すべてのλに対して次のことが成り立つ。

   $a_{\lambda }\in B_{\lambda }$

   よって、すべてのλに対して、AλはBλの部分集合となる。

   $A_{\lambda }\subset B_{\lambda }$

   すべてのλに対してAλはBλの部分集合と仮定する。

   aを直積Aの任意の元とする。

   $\begin{array}{l}a\in {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }{A}_{\lambda }}\\ a={\left(a_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }\end{array}$

   家庭より、すべてのλに対して次のことが成り立つ。

   $a_{\lambda }\in B_{\lambda }$

   よって、aは直積Bの元である。

   $a\in {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }{B}_{\lambda }}$

   以上より、問題の包含関係が成り立つ。

   ${\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }{A}_{\lambda }}\subset {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }{B}_{\lambda }}$

   よって、必要十分である。(証明終)