数学 - 解析学 - 距離空間の位相 - 位相の基礎的諸概念(連続写像、閉包の像、像の閉包、包含関係、閉集合、逆像)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題13.を取り組んでみる。

13. 
    
    $\begin{array}{}A\subset \; <!--\; subset\; of\; -->f^{-1}\left(f\left(A\right)\right)\\ A\subset \; <!--\; subset\; of\; -->f^{-1}\left(\stackrel{-}{f\left(A\right)}\right)\end{array}$

    ここで、

    $\frac{}{f\left(A\right)}$

    は閉集合である。そして、 f は仮定より連続写像なので、

    $f^{-1}\left(f\left(A\right)\right)$

    は閉集合である。
    よって、

    $\stackrel{-}{A}\subset \; <!--\; subset\; of\; -->f^{-1}\left(\stackrel{-}{f\left(A\right)}\right)$

    が成り立つ。

    $\begin{array}{}f\left(\stackrel{-}{A}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->f\left(f^{-1}\left(\stackrel{-}{f\left(A\right)}\right)\right)=\stackrel{-}{f\left(A\right)}\\ f\left(\stackrel{-}{A}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->\stackrel{-}{f\left(A\right)}\end{array}$

    （証明終）