数学 - 解析学 - 距離空間の位相 - 位相の基礎的諸概念(距離関数による距離関数の定義、位相的同値性)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題16.を取り組んでみる。

16. 1つ目の関数について。

    x、 y、zを X の任意の点とする。

    $\frac{d\left(x,y\right)}{1+d\left(x,y\right)}\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{0}{1+0}=0$

    $\begin{array}{}{d}_1\left(x,y\right)=0\\ \iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->\frac{d\left(x,y\right)}{1+d\left(x,y\right)}=0\\ \iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->d\left(x,y\right)=0\\ \iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->x=y\end{array}$

    $\begin{array}{}{d}_1\left(x,y\right)=\frac{d\left(x,y\right)}{1+d\left(x,y\right)}\\ =\frac{d\left(y,x\right)}{1+d\left(y,x\right)}\\ =d_1\left(y,x\right)\end{array}$

    $\begin{array}{}{d}_1\left(x,z\right)\\ =\frac{d\left(x,z\right)}{1+d\left(x,z\right)}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right)}{1+d\left(x,y\right)+d\left(y+z\right)}\\ =\frac{d\left(x,y\right)}{1+d\left(x,y\right)+d\left(y+z\right)}+\frac{d\left(y,z\right)}{1+d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right)}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{d\left(x,y\right)}{1+d\left(x,y\right)}+\frac{d\left(y,z\right)}{1+d\left(y,z\right)}\\ =d_1\left(x,y\right)+d_1\left(y,z\right)\end{array}$

    よって距離関数である。

    2つ目の関数について。

    $d_2\left(x,y\right)=\min \left\{1,d\left(x,y\right)\right\}\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0$

    $\begin{array}{}{d}_2\left(x,y\right)=0\\ \iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->\min \left\{1,d\left(x,y\right)\right\}=0\\ \iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->d\left(x,y\right)=0\\ \iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->x=y\end{array}$

    $\begin{array}{}{d}_2\left(x,y\right)=mih\left\{1,d\left(x,y\right)\right\}\\ =\min \left\{1,d\left(y,x\right)\right\}\\ =d_2\left(y,x\right)\end{array}$

    $\begin{array}{}{d}_2\left(x,z\right)\\ =\min \left\{1,d\left(x,z\right)\right\}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\min \left\{1,d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right)\right\}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\min \left\{1,d\left(x,y\right)\right\}+\min \left\{1,d\left(y,z\right)\right\}\end{array}$

    よって距離関数である。