数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(写像、合成写像、値域、ある写像が存在するための必要十分条件)

集合・位相入門

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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題14を取り組んでみる。

14. 必要条件であることについて。

    $\begin{array}{}f\left(a\right)=f\left(a\text{'}\right)\\ g\left(f\left(a\right)\right)=g\left(f\left(a\text{'}\right)\right)\\ h\left(a\right)=h\left(a\text{'}\right)\end{array}$

    十分条件であることについて。

    $g:B\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->C$

    b を B の元とし、 b が f の値域であるとき、

    $\begin{array}{}f\left(a\right)=b\\ g\left(b\right)=h\left(a\right)\end{array}$

    を g が満たすようにする。仮定より

    $\begin{array}{}f\left(a\right)=f\left(a\text{'}\right)=b\\ g\left(b\right)=h\left(a\right)=h\left(a\text{'}\right)\end{array}$

    を満たすので問題ない。

    この g は

    $h=g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f$

    となる。（証明終）