数学 - 代数学 - 整数 - 数学的帰納法と除法の定理(凸関数、一般化、数学的帰納法)

代数系入門

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  • Pythonからはじめる数学入門
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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問題6.を取り組んでみる。

6. 
   
   $t_n=1$

   のとき成り立つことは明らか。

   $t_n\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->1$

   の場合

   $\begin{array}{}f\left(\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{s}_k{a}_k\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{s}_{k}f\left(a_k\right)\\ f\left(\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{s}_k{a}_k\right)+\frac{t_n}{1-t_n}f\left(a_n\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{s}_{k}f\left(a_k\right)+\frac{t_n}{1-t_n}f\left(a_n\right)\\ \left(1-t_n\right)f\left(\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{s}_k{a}_k\right)+t_{n}f\left(a_n\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left(1-t_n\right)\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{s}_{k}f\left(a_k\right)+t_{n}f\left(a_n\right)\\ \left(1-t_n\right)f\left(\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{t_k}{1-t_n}{a}_k\right)+t_{n}f\left(a_n\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{t}_{k}f\left(a_k\right)+t_{n}f\left(a_n\right)=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{t}_{k}f\left(a_k\right)\end{array}$

   $\begin{array}{}\left(1-t_n\right)+t_n=1,1-t_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0,t_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\\ f\left(\left(1-t_n\right)\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{t_k}{1-t_n}{a}_k+t_n{a}_n\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left(1-t_n\right)f\left(\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{t_k}{1-t_n}{a}_k\right)+t_{n}f\left(a_n\right)\\ f\left(\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{t}_k{a}_k+t_n{a}_n\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left(1-t_n\right)f\left(\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{t_k}{1-t_n}{a}_k\right)+t_{n}f\left(a_n\right)\\ f\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{t}_k{a}_k\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left(1-t_n\right)f\left(\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{t_k}{1-t_n}{a}_k\right)+t_{n}f\left(a_n\right)\end{array}$

   $f\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{t}_k{a}_k\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{t}_{k}f\left(a_k\right)$

   よって帰納法により、すべての正の整数に対して成り立つ。