数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 同値関係(同値類、商集合、自然な写像)

集合・位相入門

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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、6(同値関係)、問題6を取り組んでみる。

6. 必要条件であることについて。

   $a,a\text{'}$

   を A の任意の元とし、

   $aRa\text{'}$

   が成り立つとする。

   このとき

   $\begin{array}{}\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\left(a\right)=\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\left(a\text{'}\right)\\ g\left(\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\left(a\right)\right)=g\left(\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\left(a\text{'}\right)\right)\\ \left(g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)\left(a\right)=\left(g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)\left(a\text{'}\right)\\ f\left(a\right)=f\left(a\text{'}\right)\end{array}$

   十分条件であることについて。

   $\begin{array}{}g:A/R\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->B\\ g\left(Ca\right)=f\left(a\right)\end{array}$

   とする。

   $\begin{array}{}{C}_a=C_b\\ g\left(c_a\right)=f\left(a\right)\\ g\left(c_b\right)=f\left(b\right)\\ aRb\\ f\left(a\right)=f\left(b\right)\end{array}$

   となるので g の定義は問題ない。
   任意の A。元 a に対して

   $\begin{array}{}\left(g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)\left(a\right)\\ =g\left(\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\left(a\right)\right)\\ =g\left(c_a\right)\\ =f\left(a\right)\end{array}$

   よって、

   $g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}=f$

   （証明終）