数学 - 代数学 - 整数 - 最大公約数(互いに素、積、等号)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、3(最大公約数)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   
   $\left(a,bc\right)=d_1,\left(a,c\right)=d_2$

   とおく。

   問題の仮定より、 a と b は互いに素

   $\left(a,b\right)=1$

   なので、 d 1 は a と c の公約数である。
   よって、

   $d_1|d_2$

   また、 d 2は a と c の公約数なので、 a と bcの公約数である。

   $d_2|d_1$

   ゆえに、

   $\begin{array}{}{d}_1=d_2\\ \left(a,bc\right)=\left(a,c\right)\end{array}$

   （証明終）