数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(全射、単射、右逆写像と左逆写像、合成写像)

集合・位相入門

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題12を取り組んでみる。

12. 1. f'とfは全射なので、その合成写像は全射。

       $\begin{array}{l}\left(f\text{'}\circ f\right)\circ \left(s\circ s\text{'}\right)\left(x\right)\\ =f\text{'}\left(\left(f\circ s\right)\left(s\text{'}\left(x\right)\right)\right)\\ =f\text{'}\left(s\text{'}\left(x\right)\right)\\ =\left(f\text{'}\circ s\text{'}\right)\left(x\right)\\ =x\end{array}$

       よって、s'とsの合成写像はfとf'の合成写像の右逆写像である。

       ${\left(f\text{'}\circ f\right)}^{-1}=s\circ s\text{'}$

    2. f、f'共に単射なので、その合成写像は単射。

       $\begin{array}{l}\left(r\circ r\text{'}\right)\circ \left(f\text{'}\circ f\right)\left(x\right)\\ =r\left(\left(r\text{'}\circ r\right)\left(f\left(x\right)\right)\right)\\ =r\left(f\left(x\right)\right)\\ =\left(r\circ f\right)\left(x\right)\\ =x\end{array}$

       よってr'とrの合成写像は、fとf'の合成写像の左逆写像である。

       ${\left(f\text{'}\circ f\right)}^{-1}=r\circ r\text{'}$