数学 - 集合と位相 - 集合と濃度 - 集合の対等と濃度(集合族、直積、選択公理(選出公理)、単射)

集合・位相入門

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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合と濃度)、1(集合の対等と濃度)、(A)集合の対等、問題6.を取り組んでみる。

6. 
   

   問題の仮定より、

   $a_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}},b_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}\in \; <!--\; element\; of\; -->A_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}},a_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->b_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}$

   となる元が存在する。

   $\begin{array}{}f:\mathrm{\Lambda \; <!--\; greek\; capital\; letter\; lambda\; -->}\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\underset{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\in \; <!--\; element\; of\; -->\mathrm{\Lambda \; <!--\; greek\; capital\; letter\; lambda\; -->}}{\prod \; <!--\; n-ary\; product\; -->}{A}_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}\\ f\left(\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\right)={\left(x_{{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}_0}\right)}_{{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}_0\in \; <!--\; element\; of\; -->\mathrm{\Lambda \; <!--\; greek\; capital\; letter\; lambda\; -->}}\\ \left({\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}_0=\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->},x_{{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}_0}=a_{{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}_0}\right),\left({\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}_0\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->},x_{{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}_0}=b_{{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}_0}\right)\end{array}$

   と写像 f を定めれば、単射である。

   よって、

   $\mathrm{card}\left(\underset{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\in \; <!--\; element\; of\; -->\mathrm{\Lambda \; <!--\; greek\; capital\; letter\; lambda\; -->}}{\prod \; <!--\; n-ary\; product\; -->}{A}_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}\right)\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{card}\mathrm{\Lambda \; <!--\; greek\; capital\; letter\; lambda\; -->}$

   が成り立つ。
   （証明終）