数学 - 集合と位相 - 集合と濃度 - 集合の対等と濃度(集合族、和集合、共通部分、空集合、選択公理(選出公理)、単射)

集合・位相入門

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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合と濃度)、1(集合の対等と濃度)、(A)集合の対等、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   

   問題の仮定と選択公理より、

   $\begin{array}{}{a}_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}\in \; <!--\; element\; of\; -->A_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}\left(\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\in \; <!--\; element\; of\; -->\mathrm{\Lambda \; <!--\; greek\; capital\; letter\; lambda\; -->}\right)\\ a_i\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->a_j\left(i,j\in \; <!--\; element\; of\; -->\mathrm{\Lambda \; <!--\; greek\; capital\; letter\; lambda\; -->},i\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->j\right)\end{array}$

   を満たすものが存在する。

   よって、写像 f を

   $\begin{array}{}f:\mathrm{\Lambda \; <!--\; greek\; capital\; letter\; lambda\; -->}\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->U_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\in \; <!--\; element\; of\; -->\mathrm{\Lambda \; <!--\; greek\; capital\; letter\; lambda\; -->}}\left(A_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}\right)\\ f\left(\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\right)=a_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}\end{array}$

   とすれば、 f は単射である。

   ゆえに、

   $\mathrm{card}\left(U_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\in \; <!--\; element\; of\; -->\mathrm{\Lambda \; <!--\; greek\; capital\; letter\; lambda\; -->}}{A}_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}\right)\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{card}\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->$