数学 - 解析学 - 距離空間の位相 - 連結性(連結距離空間、連結部分酒豪、内部、外部、境界)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.3(連結性)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   
   $E\cap \; <!--\; intersection\; -->A^f=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}$

   と仮定すると、

   $\begin{array}{}\left(E\cap \; <!--\; intersection\; -->A^i\right)\cup \; <!--\; union\; -->\left(E\cap \; <!--\; intersection\; -->A^e\right)=E\\ E\cap \; <!--\; intersection\; -->A^i=E\cap \; <!--\; intersection\; -->A\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\\ E\cap \; <!--\; intersection\; -->A^e=E\cap \; <!--\; intersection\; -->A^c=E\cap \; <!--\; intersection\; -->\left(X-A\right)\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\\ \left(E\cap \; <!--\; intersection\; -->A^i\right)\cap \; <!--\; intersection\; -->\left(E\cap \; <!--\; intersection\; -->A^e\right)=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\end{array}$

   よって、 E が距離空間の 連結部分集合であることと矛盾する。

   ゆえに、

   $E\cap \; <!--\; intersection\; -->A^f\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}$

   （証明終）