数学 - 集合論 - 順序 - 順序(順序(半順序)、全順序、全単射、順序同型、単調な全単射、逆写像)

集合論入門

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集合論入門(基礎数学シリーズ)(松村 英之(著)、朝倉書店)の3.(順序)、3.1(順序)の問18.を取り組んでみる。

18. 
    
    $X=Y=\text{ℤ <!-- double-struck capital Z -->}-\left\{0\right\}$

    とする。
    また、 X の順序を

    $\begin{array}{}a,b\in \; <!--\; element\; of\; -->X\\ a|b\end{array}$

    (a は b。約数である。 b は a の倍数である。）
    と定め、 Y の順序を通常の大小で定める。
    また、 X から Y への写像 f を、

    $\begin{array}{}f:X\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->Y\\ f\left(x\right)=x\end{array}$

    と定める。

    このとき、 f は全単射である。

    また、 X の任意の元 a、 b に対して、

    $a|b\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->f\left(a\right)=a\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->b=f\left(b\right)$

    が成り立つ。

    よって f は単調な全単射である。

    f の逆写像について、

    $2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->3\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->\neg \left(f^{-1}\left(2\right)=2|3=f^{-1}\left(3\right)\right)$

    となるので、 f の逆写像は単調ではない。

    X が全順序集合の場合。

    f が単調な全単射と仮定する。

    a、b を Y の任意の元とする。

    $f^{-1}\left(a\right),f^{-1}\left(b\right)\in \; <!--\; element\; of\; -->X$

    X は全順序集合なので、

    $f^{-1}\left(a\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->f^{-1}\left(b\right)\vee \; <!--\; logical\; or\; -->f^{-1}\left(a\right)>f^{-1}\left(b\right)$

    が成り立つので、

    $\begin{array}{}f\left(f^{-1}\left(a\right)\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->f\left(f^{-1}\left(b\right)\right)\vee \; <!--\; logical\; or\; -->f^{-1}\left(a\right)>f^{-1}\left(b\right)\\ a\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->b\vee \; <!--\; logical\; or\; -->a>b\end{array}$

    よって、 Y は全順序集合である。

    また、

    $a\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->b$

    のとき、

    $\begin{array}{}f\left(f^{-1}\left(a\right)\right)=a\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->b=f\left(f^{-1}\left(b\right)\right)\\ f\left(f^{-1}\left(a\right)\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->f\left(f^{-1}\left(b\right)\right)\end{array}$

    となり、 f は単調な写像なので、

    $f^{-1}\left(a\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->f^{-1}\left(b\right)$

    よって f の逆写像も単調である。