数学 - 集合と位相 - 集合と濃度 - 集合の対等と濃度(全射、商集合、同値関係、全単射)

集合・位相入門

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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合と濃度)、1(集合の対等と濃度)、(A)集合の対等、問題7.を取り組んでみる。

7. 
   

   集合 A における間係 R を

   $aRb\iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->f\left(a\right)=f\left(b\right)$

   と定める。

   このとき、 A の任意の元 a、 b、 c に対して

   $\begin{array}{}f\left(a\right)=f\left(a\right)\\ f\left(a\right)=f\left(b\right)\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->f\left(b\right)=f\left(a\right)\\ f\left(a\right)=f\left(b\right)\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->f\left(b\right)=f\left(c\right)\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->f\left(a\right)=f\left(c\right)\end{array}$

   が成り立つ。

   よって、関係 R は反射律、対称律、推移律を満たすので、同値関係である。

   また、写像 g を、

   $\begin{array}{}g:A/R\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->B\\ g:C_a\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->f\left(a\right)\end{array}$

   と定めると、 B は A の同値関係してによる商集合から集合 B への全単射である。

   実際に確認。

   $\begin{array}{}g\left(c_a\right)=g\left(c_b\right)\\ \Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->f\left(a\right)=f\left(b\right)\\ \Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->aRb\\ \Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->C_a=C_b\end{array}$

   よって g は単射。

   また、 b を B の任意の元とするとき、 f は全射なので、ある A の元 a が存在して、

   $f\left(a\right)=b$

   よって、

   $g\left(c_a\right)=b$

   となり、 g は全射である。

   ゆえに、 g は全単射である。

   以上より、

   $A/R,B$

   は対等である。
   （証明終）