数学 - フィボナッチ数列、級数、ある関係( @hyuki @PlanetaryNatuko )結城浩さん、なつ子☆です！さんのツイート、リツイートより

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#数学の問題 です。1123フィボナッチの日にちなんで、フィボナッチ数列のやさしい問題をどうぞ。解答はリプでお気軽に。Enjoy! pic.twitter.com/GWBE0b3zZY

— 結城浩 (@hyuki) 2017年11月23日

数学的帰納法を利用して証明してみる。

$\begin{array}{}\underset{k=0}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{F}_k\\ =\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{F}_k+F_n\\ =F_{\left(n-1\right)+2}-1+F_n\\ =F_{n+1}-1+F_n\\ =\left(F_{n+1}+F_n\right)-1\\ =\left(F_{\left(n+2\right)-1}+F_{\left(n+2\right)-2}\right)-1\\ =F_{n+2}-1\end{array}$

よって帰納法により、任意の非負整数に対して成り立つ。