数学 - 線型代数 - 線型写像 - 行列の階数(n次の正方行列に関する5つの条件、線型変換、正則、自明な解、核、階数、恒等写像)

線型代数入門

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、10(行列の階数)、問題1.を取り組んでみる。

1. • 5から2について。

     BをBA=Inとなる行列とする。

     Ax = 0の両辺の左側からBを掛ける。

     $\begin{array}{l}BAx=B0\\ I_{n}x=0\\ x=0\end{array}$

     よって、Ax = 0は自明な解しかもたない。

   • 2から3について。

     Ax = 0が自明な解しかもたないとする。

     bをR^nの任意の元とする。

     Ax = 0より線型変換LAは単射である。

     よって、LAは全射である。(定理3.20より)

     ゆえにAx = Bを満たすR^nの元xが存在する。

   • 3から4について。

     仮定より、LAは全射。

     よって、LAの階数はn。(定理3.20より)

     ゆえに、rank A = n。

   • 4かr5について。

     rank Aのとき、線型写像LAの階数はn。

     よって、LAは同型写像。(定理3.20より)

     ゆえに、LAは逆写像LBが存在する。

     $\begin{array}{l}{L}_A\circ L_B=L_{AB}=L_{I_n}\\ L_B\circ L_A=L_{BA}=L_{I_n}\end{array}$

     よって、AB = BA = Inとなる。

   以上により、命題3.24のn次元の正方行列Aに関する5つの条件は互いに同等である。(証明終)