学習環境
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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう1つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.1(行列とその演算)、行列の乗法の性質(2)、問17.を取り組んでみる。
前間、問題16の(1)の等式の両辺に A をかけると、
A3-(a+d)A2+(ad-bc)A=0問題.の仮定より、
A3=Oなので、
-(a+d)A2+(ad-bc)A=0また、 前問、問題16の(1) より、
A2=(a+d)A-(ad-bc)Eよって、
-(a+d)((a+d)A-(ad-bc)E)+(ad-bc)A=0-(a+d)2A+(a+d)(ad-bc)E+(ad-bc)A=O((a+d)2-(ad-bc))A-(a+d)(ad-bc)E=0((a+d)2-(ad-bc))A=(a+d)(ad-bc)E(a+d)2-(ad-bc)≠0の場合、
A=aEA3=a3EO=a3Ea=0A=O(a+d)2-(ad-bc)=0の場合、
(a+d)(ad-bc)=0(a+d)3=0a+d=0d=-aad-bc=0よって前間、問題16の(1)より
A2=O(証明終)
コード(Emacs)
Python 3
#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve a, b, c, d = symbols('a, b, c, d') A = Matrix([[a, b], [c, d]]) for t in [A, A ** 3, A ** 2]: pprint(t) print()
入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))
$ ./sample17.py ⎡a b⎤ ⎢ ⎥ ⎣c d⎦ ⎡ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2⎞⎤ ⎢a⋅⎝a + b⋅c⎠ + b⋅(a⋅c + c⋅d) a⋅(a⋅b + b⋅d) + b⋅⎝b⋅c + d ⎠⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2⎞⎥ ⎣c⋅⎝a + b⋅c⎠ + d⋅(a⋅c + c⋅d) c⋅(a⋅b + b⋅d) + d⋅⎝b⋅c + d ⎠⎦ ⎡ 2 ⎤ ⎢a + b⋅c a⋅b + b⋅d⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎣a⋅c + c⋅d b⋅c + d ⎦ $
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