数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列とその演算 - 行列の乗法の性質(2)(正方行列(2次)、累乗(2乗、3乗)、零行列)

数学読本〈5〉

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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.1(行列とその演算)、行列の乗法の性質(2)、問17.を取り組んでみる。

17. 
    

    前間、問題16の（1）の等式の両辺に A をかけると、

    $A^3-\left(a+d\right)A^2+\left(ad-bc\right)A=0$

    問題.の仮定より、

    $A^3=O$

    なので、

    $-\left(a+d\right)A^2+\left(ad-bc\right)A=0$

    また、 前問、問題16の（1） より、

    $A^2=\left(a+d\right)A-\left(ad-bc\right)E$

    よって、

    $\begin{array}{}-\left(a+d\right)\left(\left(a+d\right)A-\left(ad-bc\right)E\right)+\left(ad-bc\right)A=0\\ -{\left(a+d\right)}^{2}A+\left(a+d\right)\left(ad-bc\right)E+\left(ad-bc\right)A=O\\ \left({\left(a+d\right)}^2-\left(ad-bc\right)\right)A-\left(a+d\right)\left(ad-bc\right)E=0\\ \left({\left(a+d\right)}^2-\left(ad-bc\right)\right)A=\left(a+d\right)\left(ad-bc\right)E\end{array}$
    ${\left(a+d\right)}^2-\left(ad-bc\right)\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

    の場合、

    $\begin{array}{}A=aE\\ A^3=a^{3}E\\ O=a^{3}E\\ a=0\\ A=O\end{array}$
    ${\left(a+d\right)}^2-\left(ad-bc\right)=0$

    の場合、

    $\begin{array}{}\left(a+d\right)\left(ad-bc\right)=0\\ {\left(a+d\right)}^3=0\\ a+d=0\\ d=-a\\ ad-bc=0\end{array}$

    よって前間、問題16の（1）より

    $A^2=O$

    （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d')
A = Matrix([[a, b],
            [c, d]])

for t in [A, A ** 3, A ** 2]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample17.py
⎡a  b⎤
⎢    ⎥
⎣c  d⎦

⎡  ⎛ 2      ⎞                                    ⎛       2⎞⎤
⎢a⋅⎝a  + b⋅c⎠ + b⋅(a⋅c + c⋅d)  a⋅(a⋅b + b⋅d) + b⋅⎝b⋅c + d ⎠⎥
⎢                                                          ⎥
⎢  ⎛ 2      ⎞                                    ⎛       2⎞⎥
⎣c⋅⎝a  + b⋅c⎠ + d⋅(a⋅c + c⋅d)  c⋅(a⋅b + b⋅d) + d⋅⎝b⋅c + d ⎠⎦

⎡ 2                  ⎤
⎢a  + b⋅c   a⋅b + b⋅d⎥
⎢                    ⎥
⎢                  2 ⎥
⎣a⋅c + c⋅d  b⋅c + d  ⎦

$