2017年11月26日日曜日

学習環境

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう1つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.1(行列とその演算)、行列の乗法の性質(2)、問17.を取り組んでみる。


  1. 前間、問題16の(1)の等式の両辺に A をかけると、

    A3-(a+d)A2+(ad-bc)A=0

    問題.の仮定より、

    A3=O

    なので、

    -(a+d)A2+(ad-bc)A=0

    また、 前問、問題16の(1) より、

    A2=(a+d)A-(ad-bc)E

    よって、

    -(a+d)((a+d)A-(ad-bc)E)+(ad-bc)A=0-(a+d)2A+(a+d)(ad-bc)E+(ad-bc)A=O((a+d)2-(ad-bc))A-(a+d)(ad-bc)E=0((a+d)2-(ad-bc))A=(a+d)(ad-bc)E
    (a+d)2-(ad-bc)0

    の場合、

    A=aEA3=a3EO=a3Ea=0A=O
    (a+d)2-(ad-bc)=0

    の場合、

    (a+d)(ad-bc)=0(a+d)3=0a+d=0d=-aad-bc=0

    よって前間、問題16の(1)より

    A2=O

    (証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d')
A = Matrix([[a, b],
            [c, d]])

for t in [A, A ** 3, A ** 2]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample17.py
⎡a  b⎤
⎢    ⎥
⎣c  d⎦

⎡  ⎛ 2      ⎞                                    ⎛       2⎞⎤
⎢a⋅⎝a  + b⋅c⎠ + b⋅(a⋅c + c⋅d)  a⋅(a⋅b + b⋅d) + b⋅⎝b⋅c + d ⎠⎥
⎢                                                          ⎥
⎢  ⎛ 2      ⎞                                    ⎛       2⎞⎥
⎣c⋅⎝a  + b⋅c⎠ + d⋅(a⋅c + c⋅d)  c⋅(a⋅b + b⋅d) + d⋅⎝b⋅c + d ⎠⎦

⎡ 2                  ⎤
⎢a  + b⋅c   a⋅b + b⋅d⎥
⎢                    ⎥
⎢                  2 ⎥
⎣a⋅c + c⋅d  b⋅c + d  ⎦

$

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