数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列とその演算 - 行列の乗法の性質(2)(正方行列(2次)、等式、単位行列、累乗(べき乗))

数学読本〈5〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.1(行列とその演算)、行列の乗法の性質(2)、問16.を取り組んでみる。

16. 
    
    $\begin{array}{}(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{array})\end{array}-(\begin{array}{cc}{a}^2+ad& ab+bd\\ ac+cd& ad+d^2\end{array})+(\begin{array}{cc}ad-bc& 0\\ 0& ad-bc\end{array})=(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array})$
17. 
    
    $\begin{array}{}d=-a\\ -a^2-bc=1\\ a^2+bc=-1\end{array}$
    $\begin{array}{}(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{array})\end{array}=(\begin{array}{cc}-1& b\left(a+d\right)\\ c\left(a+d\right)& bc+a^2\end{array})\\ =(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array})\\ =-(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array})\\ =-E$
18. 
    
    $\begin{array}{}d=1-a\\ a\left(1-a\right)-bc=0\\ a-a^2-bc=0\end{array}$
    $\begin{array}{}(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{array})\end{array}=(\begin{array}{cc}{a}^2+\left(a-a^2\right)& b\left(a+d\right)\\ c\left(a+d\right)& bc+{\left(1-a\right)}^2\end{array})\\ =(\begin{array}{cc}a& b\\ c& \left(a-a^2\right)+{\left(1-a\right)}^2\end{array})\\ =(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a+1\end{array})\\ =(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array})\\ =A$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d')
A = Matrix([[a, b],
            [c, d]])

E = Matrix([[1, 0],
            [0, 1]])
X = A ** 2 - (a + d) * A + (a * d - b * c) * E
for t in [X, X.expand()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample16.py
⎡ 2                                          ⎤
⎢a  + a⋅d - a⋅(a + d)   a⋅b + b⋅d - b⋅(a + d)⎥
⎢                                            ⎥
⎢                              2             ⎥
⎣a⋅c + c⋅d - c⋅(a + d)  a⋅d + d  - d⋅(a + d) ⎦

⎡0  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦

$