数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列とその演算 - 行列の乗法(累乗(べき乗)、予想、推測、数学的帰納法による証明)

数学読本〈5〉

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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.1(行列とその演算)、行列の乗法、問9.を取り組んでみる。

9. 
   
   $A=(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array})$

   $A^2=(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 4\end{array})$

   $A^3=(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\left)(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 4\end{array}\right)=(\begin{array}{cc}1& 0\\ 7& 8\end{array})$

   $A^4=(\begin{array}{cc}1& 0\\ 7& 8\end{array}\left)(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)=(\begin{array}{cc}1& 0\\ 15& 16\end{array})$

   $A^5=(\begin{array}{cc}1& 0\\ 15& 16\end{array}\left)(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)=(\begin{array}{cc}1& 0\\ 31& 32\end{array})$

   予想。

   $A^n=(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2^n-1& 2^n\end{array})$

   予想が正しいかどうか。

   $A^n=(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2^{n-1}-1& 2^{n-1}\end{array}\left)(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)=(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2^{n-1}-1+2^{n-1}& 2^n\end{array})=(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2^n-1& 2^n\end{array})$

   よって数学的帰納法により、すべての正の整数に対して成り立つ。
   （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('問9')
A = Matrix([[1, 0],
            [1, 2]])
n = symbols('n', integer=True, positive=True)

pprint(A ** n)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample9.py
問9
⎡  1     0 ⎤
⎢          ⎥
⎢ n       n⎥
⎣2  - 1  2 ⎦
$