数学 - Python - 解析学 - 距離空間の位相 - 位相の基礎的諸概念(和集合、内部、閉包、等号)

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題8.を取り組んでみる。

8. • xをAとBの共通部分の内点とする。

     $x\in {\left(A\cap B\right)}^i$

     ある正の数δが存在して、B(x;δ)はAとBの共通部分の部分集合である。

     $B\left(x;\delta \right)\subset A\cap B$

     よって、B(x;δ)はAもBにも含まれるので、xはAの内点かつBの内点である。

     $\begin{array}{l}B\left(x;\delta \right)\subset A\wedge B\left(x;\delta \right)\subset B\\ \iff x\in A^i\wedge x\in B^i\\ \iff x\in A^i\cap B^i\end{array}$

     ゆえに、AとBの共通部分の内部はAの内部とBの内部の共通部分の部分集合である。

     ${\left(A\cap B\right)}^i\subset A^i\cap B^i$

     Aの内部とBの内部の共通部分はAとBの共通部分の部分集合である。

     $A^i\cap B^i\subset A\cap B$

     Aの内部とBの内部の共通部分は開集合であるから、Aの内部とBの内部の共通部分はAとBの共通部分の内部の部分集合である。

     $A^i\cap B^i\subset {\left(A\cap B\right)}^i$

     よって、問題の等式が成り立つ。

     $A^i\cap B^i={\left(A\cap B\right)}^i$

   • xをAとBの和集合の任意の触点とする。

     $\begin{array}{l}\left(A\cup B\right)\cap B\left(x;\epsilon \right)\ne \varphi \\ \\ \left(A\cup B\right)\cap B\left(x;\epsilon \right)\\ =\left(A\cap B\left(x;\epsilon \right)\right)\cup \left(B\cap B\left(x;\epsilon \right)\right)\\ \\ \left(A\cap B\left(x;\epsilon \right)\right)\cup \left(B\cap B\left(x;\epsilon \right)\right)\ne \varphi \end{array}$

     よって、xはAの触点またはBの触点である。

     $x\in \overline{A}\vee x\in \overline{B}$

     ゆえに、AとBの和集合はAの閉包とBの閉包の和集合の部分集合である。

     $\overline{A\cup B}\subset \overline{A}\cup \overline{B}$

     AとBの和集合はAの閉包とBの閉包の和集合の部分集合である。

     $A\cup B\subset \overline{A}\cup \overline{B}$

     Aの閉包とBの閉包の和集合は閉集合なので、AとBの和集合の閉包はAの閉包とBの閉包の和集合の部分集合である。

     $\overline{A\cup B}\subset \overline{A}\cup \overline{B}$

     xをAの閉包とBの閉包の和集合の任意の元とする。

     $\begin{array}{l}x\in \overline{A}\cup \overline{B}\\ \iff x\in \overline{A}\vee x\in \overline{B}\end{array}$

     任意の正の数εに対して、次のことが成り立つ。

     $B\left(x;ϵ\right)\cap A\ne \varphi \vee B\left(x;ϵ\right)\cap B\ne \varphi$

     よって、B(x;ε)とAとBの和集合の共通部分は空集合ではない。

     $B\left(x;ϵ\right)\cap \left(A\cup B\right)\ne \varphi$

     ゆえに、xはAとBの和集合の触点である。

     $x\in \overline{A\cup B}$

     よって、Aの閉包とBの閉包の和集合は、AとBの和集合の閉包の部分集合である。

     $\overline{A}\cup \overline{B}\subset \overline{A\cup B}$

     以上より、等号が成り立つ。

     $\overline{A}\cup \overline{B}=\overline{A\cup B}$

   (証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, Interval

print('8.')
A = Interval(0, 0) | Interval.Lopen(1, 2) | Interval.Ropen(2, 3)
B = Interval(0, 0) | Interval.Ropen(1, 2) | Interval.Lopen(2, 3)

l1 = A.interior & B.interior
r1 = (A & B).interior

l2 = A.closure | B.closure
r2 = (A | B).closure

for t in [A, B, l1, r1, l1 == r1, l2, r2, l2 == r2]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample8.py
8.
{0} ∪ (1, 3)

{0} ∪ [1, 2) ∪ (2, 3]

(1, 2) ∪ (2, 3)

(1, 2) ∪ (2, 3)

True

{0} ∪ [1, 3]

{0} ∪ [1, 3]

True

$