数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列とその演算 - 逆行列(積、単位行列、右逆行列、左逆行列、等式)

数学読本〈5〉

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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.1(行列とその演算)、逆行列、問18.を取り組んでみる。

18. 
    

    行列 C を

    $C=(\begin{array}{cc}x& u\\ y& v\end{array})$

    とおく。

    $\begin{array}{}CA\\ =(\begin{array}{cc}x& u\\ y& v\end{array})\end{array}(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array})=(\begin{array}{cc}ax+cu& bx+du\\ ay+cv& by+dv\end{array})$
    $\begin{array}{}ax+cu=1\\ bx+du=0\\ ay+cv=0\\ by+dv=1\end{array}$
    $\begin{array}{}a\mathrm{dx}+cdu=d\\ bcx+cdu=0\\ a\mathrm{dy}+cdv=0\\ bcy+cdv=c\end{array}$
    $\begin{array}{}\left(ad-bc\right)x=d\\ -\left(ad-bc\right)y=c\end{array}$
    $\begin{array}{}ad-bc\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ x=\frac{d}{ad-bc}\\ y=\frac{-c}{ad-bc}\end{array}$
    $\begin{array}{}abx+bcu=b\\ abx+adu=0\\ aby+bcv=0\\ aby+adv=a\end{array}$
    $\begin{array}{}-\left(ad-bc\right)u=b\\ \left(ad-bc\right)v=a\end{array}$
    $\begin{array}{}u=\frac{-b}{ad-bc}\\ v=\frac{a}{ad-bc}\end{array}$

    よって、

    $C=\frac{1}{ad-bc}(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array})$

    また、

    $ad-bc=0$

    の場合は等式と矛盾するので逆行列は存在しない。

    ゆえに、 C は本文の行列 B と一致する。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

x, y, u, v, a, b, c, d = symbols('x, y, z, u, a, b, c, d')
A = Matrix([[a, b],
            [c, d]])
X = Matrix([[x, u],
            [y, v]])

E = Matrix([[1 if i == j else 0 for j in range(2)]
            for i in range(2)])

for t in [A, X, E, solve(A * X - E, (x, y, u, v)), solve(X * A - E, (x, y, u, v))]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample18.py
⎡a  b⎤
⎢    ⎥
⎣c  d⎦

⎡x  z⎤
⎢    ⎥
⎣y  u⎦

⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

⎧       a             d            -c            -b    ⎫
⎨u: ─────────, x: ─────────, y: ─────────, z: ─────────⎬
⎩   a⋅d - b⋅c     a⋅d - b⋅c     a⋅d - b⋅c     a⋅d - b⋅c⎭

⎧       a             d            -c            -b    ⎫
⎨u: ─────────, x: ─────────, y: ─────────, z: ─────────⎬
⎩   a⋅d - b⋅c     a⋅d - b⋅c     a⋅d - b⋅c     a⋅d - b⋅c⎭

$