数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 行列の階数(積の転置行列と転置行列の積、等号)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、10(行列の階数)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   

   ABの(i, j)成分について。

   $\left(a^i{b}_j\right)$

   ABの転置行列の(i, j)成分について。

   $\left(a^j{b}_i\right)$

   Aの転置行列の(i, j)成分について。

   $\left(a_{ji}\right)$

   Bの転置行列の(i, j)成分について。

   $\left(b_{ji}\right)$

   Bの転置行列とAの転置行列の積の(i, j)成分について。

   $\begin{array}{l}\left({\displaystyle \sum _{k=1}^m{b}_{ki}{a}_{jk}}\right)\\ =\left({\displaystyle \sum _{k=1}^m{a}_{jk}{b}_{ki}}\right)\\ =\left(a^j{b}_i\right)\end{array}$

   よって、問題の等式は成り立つ。

   ${\left(AB\right)}^T=B^T{A}^T$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix
import random

print('4.')

for _ in range(5):
    l = random.randrange(1, 10)
    m = random.randrange(1, 10)
    n = random.randrange(1, 10)
    print(f'A: {l}×{m}行列, B: {m}×{n}行列')
    A = Matrix([[random.randrange(10) for _ in range(m)]
                for _ in range(l)])
    B = Matrix([[random.randrange(10) for _ in range(n)]
                for _ in range(m)])
    for t in [A, A.T, B, B.T, (A * B).T, B.T * A.T, (A * B).T == B.T * A.T]:
        pprint(t)
        print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
A: 2×1行列, B: 1×5行列
⎡1⎤
⎢ ⎥
⎣6⎦

[1  6]

[9  9  3  6  8]

⎡9⎤
⎢ ⎥
⎢9⎥
⎢ ⎥
⎢3⎥
⎢ ⎥
⎢6⎥
⎢ ⎥
⎣8⎦

⎡9  54⎤
⎢     ⎥
⎢9  54⎥
⎢     ⎥
⎢3  18⎥
⎢     ⎥
⎢6  36⎥
⎢     ⎥
⎣8  48⎦

⎡9  54⎤
⎢     ⎥
⎢9  54⎥
⎢     ⎥
⎢3  18⎥
⎢     ⎥
⎢6  36⎥
⎢     ⎥
⎣8  48⎦

True

A: 7×7行列, B: 7×3行列
⎡2  9  5  2  0  9  1⎤
⎢                   ⎥
⎢2  8  3  2  6  5  1⎥
⎢                   ⎥
⎢4  3  0  1  6  0  3⎥
⎢                   ⎥
⎢1  7  9  0  5  6  4⎥
⎢                   ⎥
⎢4  0  9  1  7  7  8⎥
⎢                   ⎥
⎢3  9  4  1  5  6  4⎥
⎢                   ⎥
⎣9  3  9  6  9  0  0⎦

⎡2  2  4  1  4  3  9⎤
⎢                   ⎥
⎢9  8  3  7  0  9  3⎥
⎢                   ⎥
⎢5  3  0  9  9  4  9⎥
⎢                   ⎥
⎢2  2  1  0  1  1  6⎥
⎢                   ⎥
⎢0  6  6  5  7  5  9⎥
⎢                   ⎥
⎢9  5  0  6  7  6  0⎥
⎢                   ⎥
⎣1  1  3  4  8  4  0⎦

⎡3  9  0⎤
⎢       ⎥
⎢7  7  1⎥
⎢       ⎥
⎢9  6  2⎥
⎢       ⎥
⎢4  7  6⎥
⎢       ⎥
⎢8  3  1⎥
⎢       ⎥
⎢5  2  2⎥
⎢       ⎥
⎣2  9  4⎦

⎡3  7  9  4  8  5  2⎤
⎢                   ⎥
⎢9  7  6  7  3  2  9⎥
⎢                   ⎥
⎣0  1  2  6  1  2  4⎦

⎡169  172  91   211  204  190  225⎤
⎢                                 ⎥
⎢152  143  109  175  204  184  225⎥
⎢                                 ⎥
⎣53   46   27   58   77   56   66 ⎦

⎡169  172  91   211  204  190  225⎤
⎢                                 ⎥
⎢152  143  109  175  204  184  225⎥
⎢                                 ⎥
⎣53   46   27   58   77   56   66 ⎦

True

A: 6×8行列, B: 8×5行列
⎡6  2  4  6  5  7  8  8⎤
⎢                      ⎥
⎢4  6  4  0  2  3  3  5⎥
⎢                      ⎥
⎢1  5  9  5  6  9  4  0⎥
⎢                      ⎥
⎢9  4  5  2  3  7  5  5⎥
⎢                      ⎥
⎢9  0  3  5  4  5  1  7⎥
⎢                      ⎥
⎣8  9  5  2  5  9  3  8⎦

⎡6  4  1  9  9  8⎤
⎢                ⎥
⎢2  6  5  4  0  9⎥
⎢                ⎥
⎢4  4  9  5  3  5⎥
⎢                ⎥
⎢6  0  5  2  5  2⎥
⎢                ⎥
⎢5  2  6  3  4  5⎥
⎢                ⎥
⎢7  3  9  7  5  9⎥
⎢                ⎥
⎢8  3  4  5  1  3⎥
⎢                ⎥
⎣8  5  0  5  7  8⎦

⎡5  3  9  9  9⎤
⎢             ⎥
⎢0  4  4  5  0⎥
⎢             ⎥
⎢3  1  8  7  4⎥
⎢             ⎥
⎢4  4  9  5  0⎥
⎢             ⎥
⎢7  1  0  0  4⎥
⎢             ⎥
⎢1  9  0  3  0⎥
⎢             ⎥
⎢7  0  6  3  4⎥
⎢             ⎥
⎣1  4  9  7  5⎦

⎡5  0  3  4  7  1  7  1⎤
⎢                      ⎥
⎢3  4  1  4  1  9  0  4⎥
⎢                      ⎥
⎢9  4  8  9  0  0  6  9⎥
⎢                      ⎥
⎢9  5  7  5  0  3  3  7⎥
⎢                      ⎥
⎣9  0  4  0  4  0  4  5⎦

⎡172  75   131  136  121  136⎤
⎢                            ⎥
⎢154  89   139  142  127  191⎥
⎢                            ⎥
⎢268  155  170  230  219  256⎥
⎢                            ⎥
⎢223  147  161  217  194  254⎥
⎢                            ⎥
⎣162  97   85   158  148  164⎦

⎡172  75   131  136  121  136⎤
⎢                            ⎥
⎢154  89   139  142  127  191⎥
⎢                            ⎥
⎢268  155  170  230  219  256⎥
⎢                            ⎥
⎢223  147  161  217  194  254⎥
⎢                            ⎥
⎣162  97   85   158  148  164⎦

True

A: 9×1行列, B: 1×5行列
⎡9⎤
⎢ ⎥
⎢1⎥
⎢ ⎥
⎢8⎥
⎢ ⎥
⎢5⎥
⎢ ⎥
⎢3⎥
⎢ ⎥
⎢9⎥
⎢ ⎥
⎢1⎥
⎢ ⎥
⎢2⎥
⎢ ⎥
⎣5⎦

[9  1  8  5  3  9  1  2  5]

[3  9  0  2  7]

⎡3⎤
⎢ ⎥
⎢9⎥
⎢ ⎥
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎢2⎥
⎢ ⎥
⎣7⎦

⎡27  3  24  15  9   27  3  6   15⎤
⎢                                ⎥
⎢81  9  72  45  27  81  9  18  45⎥
⎢                                ⎥
⎢0   0  0   0   0   0   0  0   0 ⎥
⎢                                ⎥
⎢18  2  16  10  6   18  2  4   10⎥
⎢                                ⎥
⎣63  7  56  35  21  63  7  14  35⎦

⎡27  3  24  15  9   27  3  6   15⎤
⎢                                ⎥
⎢81  9  72  45  27  81  9  18  45⎥
⎢                                ⎥
⎢0   0  0   0   0   0   0  0   0 ⎥
⎢                                ⎥
⎢18  2  16  10  6   18  2  4   10⎥
⎢                                ⎥
⎣63  7  56  35  21  63  7  14  35⎦

True

A: 4×8行列, B: 8×8行列
⎡3  3  8  6  8  7  2  8⎤
⎢                      ⎥
⎢9  8  9  6  4  4  2  2⎥
⎢                      ⎥
⎢2  8  5  1  1  1  3  9⎥
⎢                      ⎥
⎣4  9  8  0  2  4  7  8⎦

⎡3  9  2  4⎤
⎢          ⎥
⎢3  8  8  9⎥
⎢          ⎥
⎢8  9  5  8⎥
⎢          ⎥
⎢6  6  1  0⎥
⎢          ⎥
⎢8  4  1  2⎥
⎢          ⎥
⎢7  4  1  4⎥
⎢          ⎥
⎢2  2  3  7⎥
⎢          ⎥
⎣8  2  9  8⎦

⎡2  5  0  9  2  5  9  8⎤
⎢                      ⎥
⎢5  7  2  4  6  9  9  6⎥
⎢                      ⎥
⎢5  0  9  9  8  8  6  6⎥
⎢                      ⎥
⎢5  0  6  9  8  3  7  4⎥
⎢                      ⎥
⎢4  2  3  7  3  8  1  6⎥
⎢                      ⎥
⎢1  8  6  6  9  6  2  3⎥
⎢                      ⎥
⎢8  1  7  3  4  3  5  7⎥
⎢                      ⎥
⎣4  3  8  2  4  9  5  5⎦

⎡2  5  5  5  4  1  8  4⎤
⎢                      ⎥
⎢5  7  0  0  2  8  1  3⎥
⎢                      ⎥
⎢0  2  9  6  3  6  7  8⎥
⎢                      ⎥
⎢9  4  9  9  7  6  3  2⎥
⎢                      ⎥
⎢2  6  8  8  3  9  4  4⎥
⎢                      ⎥
⎢5  9  8  3  8  6  3  9⎥
⎢                      ⎥
⎢9  9  6  7  1  2  5  5⎥
⎢                      ⎥
⎣8  6  6  4  6  3  7  5⎦

⎡178  177  139  193⎤
⎢                  ⎥
⎢134  149  106  150⎥
⎢                  ⎥
⎢258  199  169  233⎥
⎢                  ⎥
⎢285  310  144  219⎥
⎢                  ⎥
⎢263  250  160  228⎥
⎢                  ⎥
⎢308  287  229  298⎥
⎢                  ⎥
⎢216  281  190  250⎥
⎢                  ⎥
⎣237  258  173  247⎦

⎡178  177  139  193⎤
⎢                  ⎥
⎢134  149  106  150⎥
⎢                  ⎥
⎢258  199  169  233⎥
⎢                  ⎥
⎢285  310  144  219⎥
⎢                  ⎥
⎢263  250  160  228⎥
⎢                  ⎥
⎢308  287  229  298⎥
⎢                  ⎥
⎢216  281  190  250⎥
⎢                  ⎥
⎣237  258  173  247⎦

True

$