数学 - Python - 集合と位相 - 集合と写像 - 同値関係(反射律、対象律、推移律、共通部分、空集合、剰余(約数、倍数))

集合・位相入門

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、6(同値関係)、問題1を取り組んでみる。

1. 1. 2つの空集合ではない集合の共通部分が空ではないという関係。
      実際に確認。
      A、 B 任意の 空ではない集合とする。

      反射律について。

      $A\cap \; <!--\; intersection\; -->A\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}$

      よって反射的である。

      対称律について。

      $A\cap \; <!--\; intersection\; -->B\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->B\cap \; <!--\; intersection\; -->A\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}$

      よって対称的である。

      推移律について。

      $A=\left\{1,2\right\},B=\left\{2,3\right\},C=\left\{3,4\right\}$

      とする。
      このとき、

      $A\cap \; <!--\; intersection\; -->B=\left\{2\right\}\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->B\cap \; <!--\; intersection\; -->C=\left\{3\right\}\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}$

      が成り立つが

      $A\cap \; <!--\; intersection\; -->C=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}$

      よって推移的ではない。

   2. 1 以上の2つの自然.、数 a、 b に対して、 b は a で割り切れる、 b は a の倍数であるという関係を考える。

      $\frac{a}{a}=1$

      なので反射的である。

      $aRb\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->bRc\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->aRc$

      は成り立つので推移的である。

      対称律について。

      $a=1,b=2$

      のとき、2は1で割り切れるが、1は2で割り切れない。よって対称的ではない。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib_venn import venn3
from sympy import pprint, FiniteSet

print('1.')
A = FiniteSet(1, 2)
B = FiniteSet(2, 3)
C = FiniteSet(3, 4)

for X in [A, B, C]:
    pprint(X)
venn3(subsets=(A, B, C))
plt.savefig('sample1.svg')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
{1, 2}
{2, 3}
{3, 4}
$