数学 - 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(奇数の素因数、2の累乗)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題9.を取り組んでみる。

9. 
   

   e が奇数の素因数 p をもつと仮定する。

   $e=pq$

   このとき、

   $\begin{array}{}{2}^e+1\\ =2^{pq}+1\\ =\left(2^q+1\right)\left(2^{\left(p-1\right)q}-2^{\left(p-2\right)q}+2^{\left(p-3\right)q}-\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+2^{2q}-2^q+1\right)\end{array}$

   よって、

   $2^e+1$

   は

   $2^q+1$

   で割り切れる。

   これは問題の仮定の

   $2^e+1\left(e\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->1\right)$

   は素数であるということと矛盾。

   よって、 e は素数の因数をもたない。
   すなわち、

   $e=2^v$

   でなければならない。