数学 - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列式と面積・体積 - 3次の行列式と体積(空間内の4つの定点、動点、同一平面上にあるための必要十分条件、連続関数、中間値の定理)

数学読本〈5〉

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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.4(行列式と面積・体積)、3次の行列式と体積、問44.を取り組んでみる。

44. 
    

    時刻 t における動点

    $P_i\left(i=1,2,3,4\right)$

    の座標をそれぞれ

    $\left(a_i\left(t\right),b_i\left(t\right),c_i\left(t\right)\right)\left(i=1,2,3,4\right)$

    とする。

    関数 f を

    $f\left(t\right)=\det \left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\left(x_i=(\begin{array}{c}1\\ a_i\left(t\right)\\ b_i\left(t\right)\\ c_i\left(t\right)\end{array})\left(i=1,2,3,4\right)\right)$

    とする。

    このとき、 f も t の連続関数である。

    t が0、 1の場合について。

    $f\left(0\right)=\det (\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ a_1& a_2& a_3& a_4\\ b_1& b_2& b_3& b_4\\ c_1& c_2& c_3& c_4\end{array})$
    $f\left(1\right)=\det (\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ a_2& a_3& a_4& a_1\\ b_2& b_3& b_4& b_1\\ c_2& c_3& c_3& c_1\end{array})$

    問題の仮定よりと前問の問43より、

    $f\left(0\right)\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0,f\left(1\right)\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

    また、

    $\begin{array}{}f\left(1\right)\\ =-\det (\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ a_1& a_3& a_4& a_2\\ b_1& b_3& b_4& b_2\\ c_1& c_3& c_4& c_2\end{array})\end{array}=\det (\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ a_1& a_2& a_4& a_3\\ b_1& b_2& b_4& b_3\\ c_1& c_2& c_4& c_3\end{array})\\ =-\det (\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ a_1& a_2& a_3& a_4\\ b_1& b_2& b_3& b_4\\ c_1& c_2& c_3& c_4\end{array})\\ =-f\left(0\right)$

    よって、 t が0と1の場合、 f は符号が異なる。
    ゆえに中間値の定理より、

    $f\left(t_0\right)=0\left(0<t_0<1\right)$

    を満たすものが存在する。

    再び前問の問43より、この時刻において、4つの動点

    $P_i\left(i=1,2,3,4\right)$

    は同一平面上にある。

    （証明終）