数学 - 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(合成数、平方根、約数、素数の倍数の除去)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題1.を取り組んでみる。

1. 1. 
      
      $\sqrt{a}$

      をこえない約数をもたないと仮定する。

      p を素数とし、

      $\begin{array}{}p>\sqrt{a}\\ a=pq\end{array}$

      と a を因数分解する。

      $p=a,q=1$

      の場合、 a が合成数であるという仮定に反するので、

      $p\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->a$

      そして、

      $p>\sqrt{a}$

      から、

      $q\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{a}$

      だと、

      $pq>a$

      となってしまうので、

      $q<\sqrt{a}$

      これは、 a が

      $\sqrt{a}$

      を こえない約数をもたないという仮定と矛盾する。

      よって、 合成数 a は

      $\sqrt{a}$

      をこえない1ではない約数をもつ。
      （証明終）

   2. 
      

      除去されずに残っている数に合成数 a が存在すると仮定する。

      $\begin{array}{}\sqrt{N}<a\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->N\\ \sqrt{a}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{N}\end{array}$

      上記の(a)より、合成紋 a は、

      $\sqrt{a}$

      をこえない約数をもつ。

      $\begin{array}{}p\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{a}\\ a=pq\end{array}$

      P の素因数分解を考えれば、 a は

      $p_0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\sqrt{N}$

      を満たす素数の倍数である。

      このことは、問題の素数の倍数を全部除去したということと矛盾する。

      よって、残っている数はすべて素数である。

      （証明終）