数学 - 線型代数 - 複素数、複素ベクトル空間 - 複素数と平面幾何学(三角形、外接円、垂線の足、シムソンの定理)

線型代数入門

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線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(複素数、複素ベクトル空間)、5(複素数と平面幾何学)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   

   三角形 ABC の外接円の中心を原点とする。

   $A,B,C,D,L,M,N$

   を表す複素数をそれぞれ、

   $a,b,c,d,l,m,n$

   と おく。

   垂線の足、 l、 m、 n について、前間の間2より、

   $\begin{array}{}l=\frac{1}{2}\left(d+b+c-\frac{bc}{d}\right)\\ m=\frac{1}{2}\left(d+a+c-\frac{ac}{d}\right)\\ n=\frac{1}{2}\left(d+a+b-\frac{ab}{d}\right)\end{array}$

   となる。

   $\begin{array}{}l-m=\frac{1}{2}\left(b-a-\frac{c\left(b-a\right)}{d}\right)=\frac{1}{2}\left(b-a\right)\left(1-\frac{c}{d}\right)\\ n-m=\frac{1}{2}\left(b-c-\frac{a\left(b-c\right)}{d}\right)=\frac{1}{2}\left(b-c\right)\left(1-\frac{a}{d}\right)\end{array}$
   • て、
   $\frac{l-m}{n-m}=\frac{\left(b-a\right)}{\left(b-c\right)}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\left(1-\frac{c}{d}\right)}{\left(1-\frac{a}{d}\right)}=\frac{\left(b-a\right)\left(d-c\right)}{\left(b-c\right)\left(d-a\right)}=\frac{\left(b-a\right)}{\left(d-a\right)}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\left(d-c\right)}{\left(b-c\right)}$

   また、 a、 b、 c、 d は同一円同点の点なので、

   $\frac{b-a}{d-a}:\frac{b-c}{d-c}\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}$

   となる。

   よって、

   $\frac{b-a}{d-a}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{d-c}{b-c}=\frac{\frac{b-a}{d-a}}{\frac{b-c}{d-c}}\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}$

   と実数になるので、 L、 M、 N は一直線上にある。

   （証明終）