数学 - 解析学 - 連続写像の空間 - ノルム空間(全ての連続写像の集合、加法、スカラー倍)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(連続写像の空間)、13.1(ノルム空間)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   

   a を X の任意の元とする。
   任意の正の数

   $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}>0$

   に対して、 ある

   $\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}>0$

   が存在して、 X の任意の元 x に対して

   $d\left(x,a\right)<\mathrm{\delta \; <!--\; greek\; small\; letter\; delta\; -->}$

   (d は距離関数）

   ならば、

   $∥f\left(x\right)-f\left(a\right)∥<\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{2}\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->∥g\left(x\right)-g\left(a\right)∥<\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{2}$

   が成り立つ。

   $\begin{array}{}∥\left(f+g\right)\left(x\right)-\left(f+g\right)\left(a\right)∥\\ =∥\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)-\left(f\left(a\right)+g\left(a\right)\right)∥\\ =∥\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)+\left(g\left(x\right)-g\left(a\right)\right)∥\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->∥f\left(x\right)-f\left(a\right)∥+∥g\left(x\right)-g\left(a\right)∥\\ <\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{2}+\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{2}\\ =\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\end{array}$

   よって、 f + g は連続写像である。

   また、スかラー倍に関して、

   $\begin{array}{}∥\left(cf\right)\left(x\right)-\left(cf\right)\left(a\right)∥\\ =∥cf\left(x\right)-cf\left(a\right)∥\\ =∥c\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)∥\\ =∥c∥∥f\left(x\right)-f\left(a\right)∥\\ <\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{2}∥c∥\end{array}$

   簡便のため、 最初の不等式で

   $∥f\left(x\right)-f\left(a\right)∥<\frac{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{∥c∥}$

   とおけば、

   $∥\left(cf\right)\left(x\right)-\left(cf\right)\left(a\right)∥<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   よって、スカラー倍も連続写像である。