数学 - 集合と位相 - 集合と濃度 - 濃度の演算(連続の濃度の指数、大小、等号)

集合・位相入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合と濃度)、3(濃度の演算)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   
   $\begin{array}{}2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\\ \mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}=c\\ 2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->n\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->c\end{array}$

   とする。

   （3.11）より

   $2^c\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->n^c$

   同じく（3.11）より

   $n^c\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\left(2^n\right)}^c$

   （3.14） より

   ${\left(2^n\right)}^c=2^{nc}$

   （3.20）より

   $2^{nc}=2^c$

   よって、

   $n^c\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->2^c$

   ゆえに

   $2^c=n^c$

   （証明終）