数学 - 線型代数 - 行列式 - 置換(互換の積、偶数、奇数の証明、帰納法)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、4(置換)、互換の積、偶数、奇数の証明.を取り組んでみる。

0. 
   

   任意の置換、

   $\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\in \; <!--\; element\; of\; -->S_n$

   が0個の互換の積となる場合、恒等写像で、

   $\det \left(a_{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\left(1\right)},\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\left(n\right)}\right)=\det \left(a_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_n\right)={\left(-1\right)}^0\det \left(a_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_n\right)$

   また、

   $\begin{array}{}\det \left(a_{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\left(1\right)},\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\left(n\right)}\right)\\ =\det \left(a\left({\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}_1{\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}_2\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->{\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}_r\left(1\right)\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a\left({\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}_1{\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}_2\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->{\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}_r\left(n\right)\right)\right)\\ =\det \left(a\left(\left({\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->{\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}_{r-1}\right)\left({\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}_r\left(1\right)\right)\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a\left(\left({\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}_1·\; <!--\; middle\; dot\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->{\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}_{v-1}\right)\left({\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}_r\left(n\right)\right)\right)\right)\\ ={\left(-1\right)}^{r-1}\det \left(a\left({\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}_r\left(1\right)\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a\left({\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}_r\left(n\right)\right)\right)\\ ={\left(-1\right)}^r\det \left(a_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_n\right)\end{array}$

   よって帰納法より全ての自然数 r に対して成り立つ。

   （証明終）