数学 - 解析学 - 距離空間の位相 - 連結性(実数空間、同相な部分空間、種類、開区間、閉区間)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.3(連結性)、問題6.を取り組んでみる。

6. 
   

   実数空間は連結なので、同相な部分空間は連結、すなわち区間である。

   $\left(a,b\right),\left(a,b\right),\left(-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->},b\right)$

   は実数空間と同相である。

   （半）閉区間について考える。

   $\left[a,b\right)$

   は連結で、

   $\left(a,b\right)$

   も連結である。

   $\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}-\left\{a\right\}=\left(-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->},a\right)\cup \; <!--\; union\; -->\left(a,\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\right)$

   は連結ではない。

   よって、（半）問区間は実数空間と同相ではない。

   ゆえに、実数空間と同相な部分空間は、最初の3種類に限られる。

   （証明終）