数学 - 集合と位相 - 集合と濃度 - 濃度の演算(実数の有限部分集合全体の集合の濃度)

集合・位相入門

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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合と濃度)、3(濃度の演算)、問題8.を取り組んでみる。

8. 
   

   実数の有限部分集合全体の集合を A とする。

   $\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{card}A$

   実数の n 個の直積、そしてその和集合 B を考える。

   $B=U_{n=1}^{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^n$

   この濃度は

   $\begin{array}{}\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}+\mathrm{card}\left(\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ =\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}+\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ =\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\end{array}$

   集合 B の任意の元 b は ただ1つの n が存在して、

   $\begin{array}{}b\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^n\\ b=\left(x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n\right)\end{array}$

   となる。

   ここで写像

   $\begin{array}{}f:B\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->A\\ f\left(b\right)=\left\{x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n\right\}\end{array}$

   を考えると、 f は全射である。

   よって

   $\mathrm{card}A\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{card}B=\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}$

   ゆえに、

   $\mathrm{card}A=\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}$

   である。