数学 - 集合と位相 - 集合と濃度 - 濃度の演算(連続の濃度、添字集合、可算集合、直和)

集合・位相入門

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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合と濃度)、3(濃度の演算)、問題7.を取り組んでみる。

7. 1. 
      
      $\begin{array}{}A=\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\\ \mathrm{\Lambda \; <!--\; greek\; capital\; letter\; lambda\; -->}=\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\\ A_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}=\left\{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\right\}\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\left(\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\right)\end{array}$

      とする。

      このとき、

      $\begin{array}{}\mathrm{card}A\\ =\mathrm{card}\left(\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\right)\\ =\left(\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\right)\left(\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}]\right)\\ =\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\end{array}$
      $\mathrm{card}\mathrm{\Lambda \; <!--\; greek\; capital\; letter\; lambda\; -->}=\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}$
      $\begin{array}{}{A}_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}\\ =\left(\mathrm{card}\left\{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\right\}\right)\left(\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\right)\\ =1\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\\ =\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\end{array}$

      よって (i)を満たす。

   2. 
      
      $U_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\in \; <!--\; element\; of\; -->\mathrm{\Lambda \; <!--\; greek\; capital\; letter\; lambda\; -->}}{A}_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}=\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}$
   3. 
      
      $\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\text{'}$

      のとき、

      $A_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}\cap \; <!--\; intersection\; -->A_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\text{'}}=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}$

   よって、性質(i)、(ii)、(iii)を満たす集合である。