数学 - 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(方程式、係数、整数、有理数の根)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   

   有理数の根を

   $\begin{array}{}l,m\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℤ <!-- double-struck capital Z -->}\\ l\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0,m\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ x=\frac{l}{m}\\ \left(l,m\right)=1\end{array}$

   とする。

   $\begin{array}{}{\left(\frac{l}{m}\right)}^n+a_1{\left(\frac{l}{m}\right)}^{n-1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n=0\\ l^n+a_1{l}^{n-1}m+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n{m}^n=0\\ l^n=-\left(a_1{l}^{n-1}m+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n{m}^n\right)\end{array}$

   よって、 l は m の倍数となる。

   また、

   $\left(l,m\right)=1$

   より、

   $\left(l^n,m\right)=1$

   なので、

   $m=1$

   l が0の場合は有理数の根は0、すなわち整数である。

   （証明終）