数学 - 線型代数 - 複素数、複素ベクトル空間 - 複素平面(絶対値、等号、不等号、共役、積、商)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(複素数、複素ベクトル空間)、2(複素平面)、問題9.を取り組んでみる。

9. 
   
   $\begin{array}{}{\left|1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2-{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2\\ =\left(1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\stackrel{-}{\left(1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)}-\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\stackrel{-}{\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)}\\ =\left(1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\left(1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)-\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)\left(\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}-\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right)\\ =1+{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}-{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2-{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2+\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}+\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\\ =1+{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2-{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2-{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2\\ =\left(1-{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right|}^2\right)\left(1-{\left|\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2\right)\\ >\left(1-1\right)\left(1-1\right)\\ =0\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{}{\left|1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2-{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2>0\\ {\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2<{\left|1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}^2\\ \left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|<\left|1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|\\ \frac{\left|\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}{\left|1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right|}<1\\ \left|\frac{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}{1-\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\right|<1\end{array}$