数学 - 集合と位相 - 集合と濃度 - 濃度の演算(可算集合の可算部分集合全体の集合の濃度)

集合・位相入門

学習環境

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合と濃度)、3(濃度の演算)、問題9.を取り組んでみる。

9. 
   

   A の部分集合全部の集合

   $F\left(A\right)$

   A の有限部分集合全体の集合を X とすると、A の可算部分集合全体の集合は、

   $F\left(A\right)-X$

   ここで、可算集合の有限部分集合全体の濃度は可算の濃度なので、

   $\mathrm{card}X=\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}$

   また、可算集合のべき集合の濃度は連続の濃度なので、

   $\mathrm{card}F\left(A\right)=\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}$

   よって、求める可算集合の可算部分集合全体の濃度は、

   $\begin{array}{}\mathrm{card}\left(F\left(A\right)-X\right)\\ =\mathrm{card}F\left(A\right)-\mathrm{card}X\\ =\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}-\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\\ =\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\end{array}$