数学 - 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(方程式、累乗(べき乗、正の整数)、累乗根、無理数であるための十分条件)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   
   $x^n=a$

   となる有理数 x が存在すると仮定する。

   このとき、

   $x^n-a=0$

   は有理数の根をもつ。

   よって、前間の問3より、 有理数の根は整数である。

   このことは

   $x^n=a$

   となるような整数が存在しないという問題の仮定と矛盾する。

   よって方程式を満たす有理数は存在しない。