数学 - 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(互いに素、積の正の約数の総数、すべての正の約数の和)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題7.を取り組んでみる。

7. 
   

   a、 b の 素因数分解をそれぞれ、

   $\begin{array}{}a=p_1^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->p_n^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n}\\ b=q_1^{{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1}\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->q_m^{{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_m}\end{array}$

   とする。

   問題の仮定より、

   $p_i\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->q_j\left(i=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n,j=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,m\right)$

   よって、 ab の素因数分解は

   $ab=p_1^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->p_n^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n}{q}_1^{{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1}\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->q_m^{{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_n}$

   となる。

   正の約紋の総数に関して、

   $\begin{array}{}\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\left(a\right)=\left({\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1+1\right)\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\left({\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n+1\right)\\ \mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\left(b\right)=\left({\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1+1\right)\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\left({\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_m+1\right)\\ \mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\left(ab\right)=\left({\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1+1\right)\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\left({\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n+1\right)\left({\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1+1\right)\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\left({\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_m+1\right)\end{array}$

   となるので、

   $\left(a,b\right)=1\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\left(ab\right)=\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\left(a\right)\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\left(b\right)$

   が成り立つ。

   すべての正の約数の和に関して、

   $\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\left(a\right)=\frac{p\left(1^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1+1}\right)-1}{p_1-1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{p_n^{\left({\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n+1\right)}-1}{p_n-1}$
   $\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\left(b\right)=\frac{q{1}^{\left({\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1+1\right)}-1}{q_1-1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{q_m^{\left({\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_m-1\right)}-1}{q_m-1}$

   よって、

   $\left(a,b\right)=1\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\left(ab\right)=\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\left(a\right)\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\left(b\right)$