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2017年12月21日木曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(連続写像の空間)、13.1(ノルム空間)、問題4.を取り組んでみる。


  1. gn(x)=fn(x)-f(x)(n=1,2,)

    とおく。
    問題の仮定より、 集合 X の任意の元 x に対して、

    limngn(x)=0

    となる。

    よって、 X の任意の元 x、任意の

    ε>0

    に対してある自然数 m が存在して、

    |gm(x)-0|=|gm(x)|<ε

    また、

    gm

    は連続なので、×のある開近傍

    V(x)

    が存在して、任意の

    x0V(x)

    に対して、

    |gm(x0)|<2ε

    ここで、

    (gn)

    は広義単調減少列であることから、

    km

    を満たす任意の自然数 k と任意の

    x'V(x)

    に対して

    |gk(x')|<2ε

    問題の仮定より X はコンパクトな距離空間であるから、有限個の

    x1,,xsX

    が存在し、

    X=V(x1)V(xs)

    となる。

    よって、 x に対する m のように

    x 1 , x 2 , , x s

    に対する

    m 1 , , m s

    をとり、

    n 0 = max m 1 , , m s

    とおけば、任意の

    n n 0

    と任意の X の任意 x に対して、

    g n x < 2 ε

    よって、

    g n = f n - f

    は0に一様収をするので、

    f n

    は f に一様収束する。

    (証明終)

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