学習環境
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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(連続写像の空間)、13.1(ノルム空間)、問題4.を取り組んでみる。
gn(x)=fn(x)-f(x)(n=1,2,…)とおく。
問題の仮定より、 集合 X の任意の元 x に対して、limn→∞gn(x)=0となる。
よって、 X の任意の元 x、任意の
ε>0に対してある自然数 m が存在して、
|gm(x)-0|=|gm(x)|<εまた、
gmは連続なので、×のある開近傍
V(x)が存在して、任意の
x0∈V(x)に対して、
|gm(x0)|<2εここで、
(gn)は広義単調減少列であることから、
k≥mを満たす任意の自然数 k と任意の
x'∈V(x)に対して
|gk(x')|<2ε問題の仮定より X はコンパクトな距離空間であるから、有限個の
x1,…,xs∈Xが存在し、
X=V(x1)∪…∪V(xs)となる。
よって、 x に対する m のように
に対する
をとり、
とおけば、任意の
と任意の X の任意 x に対して、
よって、
は0に一様収をするので、
は f に一様収束する。
(証明終)
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